שינויים
/* גזירות */
בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת.
את התאורייה המלאה ניתן ללמוד בקישור הבא - [[חדוא 1 - ארז שיינר|https://calc1.math-wiki.com]]
=גזירות=
פונקציה נגזרת נקראית גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.
בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.
===דוגמא===
עבור <math>f(x)=\sqrt({x)}</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math>
לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי
<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>
[[קובץ:linearapprox.png| 800px]]
=נוסחאות הגזירה=
כעת נראה כיצד נוסחאות הגזירה מופיעות כאשר מחליפים בין פונקציות למשיקים שלהן (הקירוב הלינארי).
כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.
==נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות==
בהנתן <math>f,g</math> שתי פונקציות גזירות בנקודה x, אנחנו מצפים ש
<math>f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h</math>
<math>g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h</math>
===נגזרת הסכום===
כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:
<math>(f+g)(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h</math>
כלומר <math>(f+g)'=f'+g'</math>
===נגזרת המכפלה===
<math>(f\cdot g)(x+h)=f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2</math>
כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק <math>f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h</math> ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור <math>(fg)'=f'g+fg'</math>.
אבל, אנחנו רואים ביטוי נוסף <math>f'(x)g'(x)h^2</math>. ברוח חוסר הדיוק, נסתפק בהסבר שכיוון שh מספר בסביבת אפס, <math>h^2</math> יהיה זניח לעומתו.
כמובן שזו לא טענה תקיפה מתמטית, אבל כאמור אפשר לנסח אותה באופן מדוייק, אך מסורבל יותר.
===נגזרת המנה===
נתחיל כמו במקרים הקודמים
<math>\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)=\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}</math>
הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה <math>\frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h</math> כאשר m הוא שיפוע המשיק.
נשתמש בשיטת WIN קיצור של Wouldn't it be nice. נוסיף את הביטוי <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> ונחסיר אותו.
<math>\frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}=\frac{f(x)}{g(x)} + \left(\frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h} - \frac{f(x)}{g(x)}\right)</math>
נעשה מכנה משותף ונקבל
<math>\frac{f(x)}{g(x)}+ \frac{g(x)(f(x)+f'(x)h)-(g(x)+g'(x)h)f(x) }{g(x)(g(x)+g'(x)h)}</math>
נפשט את הביטוי
<math>\frac{f(x)}{g(x)}+\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)+g(x)g'(x)h} \cdot h</math>
שוב ללא הסברים מלאים נזניח את הביטוי <math>g(x)g'(x)h</math>
ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.
==נגזרת של הרכבת פונקציות==
תהי g הגזירה בנקודה x ולכן
<math>g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h</math>
ותהי f הגזירה בנקודה <math>g(x)</math> ולכן
<math>f(g(x)+h)\approx f(g(x))+ f'(g(x))h</math>
כעת נרצה לחשב את המשיק בנקודה x של הפונקציה המורכבת <math>f(g(x))</math>
לכן נחשב
<math>(f\circ g)(x+h)=f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h)</math>
אכן, הנגזרת של ההרכבה היא <math>(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)</math>
