שינויים

 ==שדות(מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)==הגדרה: [[שדה]].  ===הגדרהתרגיל 1.3 סעיף ג'===קבוצה [בד"כ נעשה בהרצאה!] יהי שדה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות . הוכיחו את הטענה הבאה: <math>(\forall a\in\mathbb{F},:0\cdota = 0</math>,כאשר <math>0</math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי. ====פתרון==== ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות. יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0\cdot a = 0</math>   לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>0</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0=0</math>  לכן <math>0\cdot a = (0+0)\cdot a</math> נקראת ''  לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))  לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))</math> 4444לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל<math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))</math>  עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש<math>0 = 0\cdot a</math> בדיוק כפי שרצינו להוכיח. ===תרגיל===הוכיחו שבשדה ל0 אין הופכי. ===פתרון===מכיוון ש0 כפול דבר שווה ל0.  ===תרגיל 1.3 סעיף ו'===יהי שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות<math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה:# '''סגירות''' - <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו) ====פתרון====יהא a בשדה צריך להוכיח כי <math>(-a)+ba=0</math> [זה הגדרת נגדי]. כיוון החיבור חילופי נקבל כי <math>(-a)+a=a+(-a)</math>. כיוון ש <math>a+(-a)=0</math> לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו. ===תרגיל 1.3 סעיף ז'===יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a) ====פתרון====<math>-a</math> זה סימון לנגדי של <math>a</math>. לכן מה שבעצם צריך להוכיח זה ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math>,לכן הם שווים (נגדי יש אחד). מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>0=0\cdot a= (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a</math>  לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-1)\cdot a</math>  לכן קיבלנו ש- <math>(-1)\cdot a</math> הוא הנגדי של <math>a</math> כפי שרצינו. ===תרגיל===הוכיחו שבשדה מתקיים כי <math>(-1)(-1)=1</math>===תרגיל === בד"כ נעשה בהרצאה!יהא <math>\mathbb{F}</math> שדה. הוכיחו כי אין לו מחלקי אפס. כלומר לא קיימים <math>a,b\in\mathbb{F}</math> שונים מאפס כך ש <math>ab=0</math> (באופן שקול: אם <math>ab=0</math> אז בהכרח אחד מהם שווה 0) ====פתרון====נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.אם <math>a=0</math> סיימנואחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל<math>b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0</math> וסיימנו. ===תרגיל 2.3 סעיף א'=== [בד"כ נעשה בהרצאה!]יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדה. ====פתרון====אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.   ===תרגיל=== הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדהכלומר, איבר היחידה הוא יחיד)# ===תרגיל=== הוכיחו שבשדה לכל איבר יש הופכי יחיד. ===תרגיל=== הוכיחו שבשדה מתקיים צמצום בכפל. כלומר, אם ab=ac כאשר a לא 0, אז b=c. ===תרגיל 2.3 סעיף ג'=== [בד"כ נעשה בהרצאה!]הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math>. עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math> תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n. ====פתרון==== לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,  <math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.  כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\mathbb{Z}_n</math> אינו שדה במקרה זה. ===תרגיל 2.6=== הסבר מדוע <math>\mathbb{Z}_p</math> אינו תת שדה של <math>\mathbb{R}</math> ====פתרון==== תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת ''קומוטטיביות/חילופיות'אותן'' - ' פעולות כמו בשדה. לכן <math>(p-1)+1 = p \forall neq 0</math> ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה. ==מרוכבים==נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה. ===תרגיל 3.2===אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: <math>(a+bi)(c+di)=ac+bdi</math>,bהאם קבוצת המרוכבים תשאר שדה? ====פתרון====לא. ניקח <math>(0+i)\incdot(1+0\mathbbcdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס! ===תרגיל 3.4===הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{Fz},|z|</math>. הביטוי הינו:<math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> ====פתרון====נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.   נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>  לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>  <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=b\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math> <math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math> <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math> ===תכונות של מרוכבים===*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>  *<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>  *<math>\overline{z}z=|z|^2</math>  *<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> ===משפט דמואבר===[אפשר לדלג] ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi,נקראת ההצגה הקרטזית שלו) משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math> ===תרגיל 3.8 א'===חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math> ===פתרון===דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot b cis(\theta)</math> מתבצע על ידי <math>r= b|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>  אצלנו בשאלה  <math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>  <math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>  ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל <math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math> === תרגיל ===פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math> === תרגיל ===מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב) פתרון: נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math> === תרגיל ===חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math> פתרון: ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math> ===תרגיל (חשוב) ==='''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה. הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math> יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום. הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד. ==== ~מסקנה====הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>