שינויים

 ==שדות=====הגדרה===קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}הגדרה:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>[[שדה]]. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור

[בד"כ נעשה בהרצאה!] יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0 </math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

לפי תכונה (4) מתקיים ש יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0+0\cdot a =0</math>

לכן לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0)\cdot a=0</math>

לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף שלכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (57) לאיבר [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:= (0\cdot a + (-(0)\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + </math> (-השתמשנו בעצם בתכונה (0\cdot a7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))</math>

לפי תכונה (35) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [קיום נגדי] לאיבר <math>0\forall cdot a\in\mathbb{F}:</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + (0\cdot a ) + (-(0\cdot a)))</math>

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

לכל איבר יהא a בשדה:צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

מתכונה (5) ===תרגיל 1.3 סעיף ז'===יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a+\in\mathbb{F}:(-a1)\cdot a=0-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

כמו כןמתוך תכונות (7), מתכונה (5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>(-0=0\cdot a)= (1+(-(-a1))\cdot a =01\cdot a + (-1)\cdot a</math>

נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-a1)=(-\cdot a)+(-(-a))</math>

נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר לכן קיבלנו ש- <math>(a+(-a)1)+\cdot a=((-a)+(-(-a)))+</math> הוא הנגדי של <math>a</math>כפי שרצינו.

לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל ====פתרון====נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.אם <math>a=0</math> סיימנואחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-(1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל<math>b=a^{-1}ab=a)^{-1}0=0</math> כפי שרצינווסיימנו.

 ===תרגיל 12.3 סעיף זא'===יהי שדה [בד"כ נעשה בהרצאה!]יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{FN}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>=\forall a\in\mathbb{F}:(-1),2,3,....\cdot a=-a}</math>אינה שדה. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>0=0\cdot a = (1+(-1))forall n,k\cdot a = 1in\cdot a mathbb{N}:n+ (-1)\cdot ak>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל <math>-a=הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (-1כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)\cdot a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===הוכיחו שבשדה לכל איבר יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדההופכי יחיד.

===תרגיל=פתרון====אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math> ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

יש להוכיח ש [בד"כ נעשה בהרצאה!]הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש . עובדה: עבור n=mk)p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}</math>

דעו תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> הינו קבוצה מהצורה <math>\mathbb{Z}_nאינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> יחד עם פעולות mk)ביחס לפעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:  כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\overlinemathbb{kZ}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1_n</math>  ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדהאינו שדה במקרה זה.

לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודם, אם נכפול בהופכיים שלהם נקבל 1=0 בסתירה.כלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס!

[אפשר לדלג] ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math>כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו) משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math>

חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math>

דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית . בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>r=|z|=r\sqrt{1^2+cdot cis(\sqrt{3}theta)^2}=2</math>. מתבצע על ידי <math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>

<math>r=|z|=\sqrt{1^{2011}cis(335\cdot 2\pi+(\frac{\pi}sqrt{3})=z^{2011}cis\frac{\pi}{32}=2</math>

<math>cos\theta =\frac{a}{r}=מערכות משוואות לינאריות==מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה \frac{1}{2}</math>

ולכן <math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n\theta =a_\frac{n+1\pi}{3}</math>  ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math>מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

<math>b_1x_12^{2011}cis(335\cdot 2\pi+b_2x_2+...+b_nx_n\frac{\pi}{3})=b_2^{n+12011}cis\frac{\pi}{3}</math>

=== תרגיל ===מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(סה"כ m משוואותa,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב)

=== תרגיל ===חשבו את הסכום <math>\left\{\begin{matrix}xcos(1)+3y=5\\ y-z=2\\ xcdots +2y+z=4\end{matrix}\right.cos(n)</math>

===תרגיל (חשוב) ==='''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>\begin{pmatrix}p(x)=1 & +2x+3x^2+4x^3 & 0 & |+5x^4+6x^5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4\end{pmatrix}</math>יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה.

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואותהגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.*כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס בהיתן פולינום <math>p(שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפסx)*חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה </math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרתa)=\sum_{i=0}^{n}a_ia^i</math>.*החלפת סדר המשוואות עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(שקול להחלפת סדר השורות במטריצהa)=0</math>

===דירוג גאוס ===איבר '''מוביליהא <math>p(x)</פותחmath> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</ציר''' הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס math> שורש של פולינום <math>p(משמאל לימיןx). מטריצה נקראת '''מדורגת''' אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. מטריצה נקראת '''מדורגת קנונית''' אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום.

הערההוכחה: לכל מטריצה '''קיימת''' צורה קנונית '''יחידה'''בשימוש תכונות הצמוד.

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה ==== ~מסקנה====הסיקו (בפרטקצת בנפנופי ידיים, נדרג את המטריצה לצורתה הקנוניתהעיקר התובנה)שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2. תהליך זה נקרא '''[[מדיההיעזרו במשפט היסודי של האלגברה: 10Linear1Gauss.pdf|אלגוריתם לדירוג גאוס]]'''.כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>