שינויים

1. #<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> 2.#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר. 3.#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים. 4.#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים. 5. #<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים". 6. #<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. הערה: #<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>

הערה''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם '''<math>W\subseteq V''' </math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק :#לכל איבר נטרלי: <math>w,u\in W0</math> מתקיים#מוגדרות: של <math>V</math> נמצא ב-<math>u+w\in W</math> .;#איבר נטרליסגירות לחיבור: 0 של לכל <math>Vw,u\in W</math> נמצא ב- מתקיים <math>u+w\in W</math> ;#אקסיומות כפל סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math> .

1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :

א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות). ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי

בג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{or}x,y\leq0\}</math>

גד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף (לפי הסעיף הבא:).

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר# ברור ש 3. מרחב המטריצות <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math># לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\inV=\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>^{n\alpha v_1 +v_2 \in Wtimes n}</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי מעל <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0mathbb{F}</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.:

<math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}

# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (bאולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math> ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ </math> והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב. הוכחה (עבור הסימטריות)# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math># לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>. ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות<math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כיהמטריצות <math>A_1 = \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & 0\cdots & 0\\1 & 0 & & 0 & 0\\\vdots & & \ddots & 0 & 0\\0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array} \right)A_2=\left(\begin{array}{ccccc}0 & -1 & & 0\cdots & 0\\1 & 0 & & 0 & 0\\\vdots & & \ddots & 0 & 0\\0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array} \right)</math>שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא. ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב . ה. המטריצות <math>W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}</math> הן תת מרחב הוכחה # ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math># לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבהנקבל כי <math>tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>.  4. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> .  א. <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}</math> הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R}_{n}[x]</math> הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים). ב. <math>W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}</math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> . === חיתוך תתי מרחבים === משפט: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math> הינו תת מרחב. הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. כלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> . ====דוגמא 1====1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שני תת מרחבים <math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math> <math>W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}</math> נמצא את <math>W_1\cap W_2</math> נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה: <math>W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\} </math> <math>W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}</math> כאשר <math>A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix},A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} </math> כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת <math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math> ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת<math>\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1\end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\0 &1 &1 &1\\0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\0 &1 &1 &0\\0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\0 &1 &1 &0\\0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}</math> התשובה הסופית  <math>W_1\cap W_2 =\{\left( \begin{array}{c}0 \\-t\\t\\0\end{array}\right): \, t\in \mathbb{R} \}</math> ====דוגמא 2====יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שני תת מרחבים  <math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math> <math>W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math> נמצא את החיתוך בניהם צריך למצוא סקלארים <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}</math> המקיימים  <math>\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} =\alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} </math> שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים). בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף): <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\\alpha_3\\ \alpha_4\end{pmatrix}= 0</math> נדרג ונמשיך  <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2\end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1\end{pmatrix}  </math>קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין <math>\alpha_3,\alpha_4</math> הוא <math>\alpha_3= -\alpha_4</math>. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.  לכן התשובה הסופית  <math>W_1\cap W_2 =\{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \}</math> ====דוגמא 3====<math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{C}</math> . יהיו <math>W_1</math> תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו <math>W_2</math> תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:<math>W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}</math>  הוכחה:ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math> ====דוגמא 4====<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.=== סכום תתי מרחבים=== יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>. יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגילהבא. '''תרגיל: (בהרצאה בד"כ)''' יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים. אזי <math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני. '''הוכחה:'''כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב. כיוון שני (<math>\Rightarrow</math>): נניח בשלילה כי (<math>W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1</math>) אזי קיימים <math>w_1\in W_1\setminus W_2 \</math> וגם <math>w_2\in W_2\setminus W_1 \</math>. שני הוקטורים <math>w_1,w_2</math> נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם <math>w_1+w_2</math> נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד <math>w_1+w_2</math> נמצא ב <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח <math>w_1+w_2\in W_1</math>. כיוון ש <math>w_1\in W_1</math> אזי חיסור שני הוקטורים <math>(w_1+w_2)-w_1 \in W_1</math> נמצא גם כן ב <math>W_1</math> אבל החיסור שווה ל <math>w_2</math>. סתירה לכך ש <math>w_2 \not\in W_1</math>  ====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ===='''הגדרה:''' <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math> הינו תת מרחב. תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>. '''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>. סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>. '''דוגמאות:''' 1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math> <math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math> אזי  <math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} = \{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}</math> 2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math> וקטורים. אם <math>W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}</math> אז <math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math> 3. עבור <math>W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}</math> מתקיים כי <math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math> הוכחה: קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.  '''סכום:'''

יהא <math>v=(c) המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\a_1,|\a_2, A^{t}=A\textnormal{\,\ or\,}A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\rightdots a_n)\in W אבל \left(\beginmathbb{array}{ccF}^n</math>. 0 & 1\\-1 & 0נגדיר <math>b=\endfrac{array}\right)+\left(\beginsum_{array}{cc}i=1 & 1\\1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array^n a_i}{ccn}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)\notin W </math> את ממוצע הקורדינאטות.

.3 Vברור כי <math>w_1=(b,b,\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל dots ,b)\mathbb{R} in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>.

נראה כי <math>v-w_1 = (a) W=a_1-b,\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, adots ,a_n-b)\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב W_2</math> וסיימנו (כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>)

אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0. נחשב <math>(a_1-b) W=+(a_2-b)+\{adots +bx|(a_n-b)= \,0\notsum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\in\mathbbsum_{Ri=1}^n a_i-\} הפולינומים מדרגה sum_{i=1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W }^n a_i=0\notin W </math>. כנדרש.

יהא <math>(aa_1,\dots ,a_n) W=v\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v,w\in WW_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,\alphaa)</math>, כיוון ש <math>v\in\mathbb{F} מתקיים \alpha vW_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+w\in W .dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>

.5 ==== תרגיל ====במרחב <math>V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל _{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\mathbb{Fp(x)\,|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\mathbbleft\{Rp(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\} </math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

(a) W=== תרגיל ====במרחב <math>V=\mathbb{QR} הוא אינו תת מרחב כי ^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של<math>W_{1}=\in W,left\,{ \sqrtleft(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\in\mathbba_{F3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\} </math> אבל ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\cdot\sqrta_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\sqrt\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\notin Wend{array}\right\}</math>