שינויים

=צירופים לינאריים, תלות [[88-112 לינארית ומרחבים נפרשים (span)=1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==הגדרת צירוף לינאריצירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==יהי '''הגדרה:''' יהיה <math>V מ"ו </math> מרחב וקטורי מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו . יהיו <math>v_1v_{1},...v_{2}\dots,v_nv_{n}\in V</math> וקטורים במרחב. '''צירוף לינארי''' של ו <math>v_1\alpha_{1},...\alpha_{2},v_n</math> הינו '''וקטור במרחב''' <math>v\dots,\alpha_{n}\in V\mathbb{F}</math> כך שקיימים סקלרים בשדה אזי ביטוי מהצורה <math>a_1,...,a_n\inalpha_{1}v_{1}+\mathbbalpha_{F2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math> המקיימים נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v=a_1v_1+...+a_nv_nv_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.

==המרחב הנפרש (span)==בתנאי ההגדרה לעיל; '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים לדוגמא: <math>v_1,...,v_nV=\mathbb{R}^{2}</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים''' של הוקטורים הללו. כלומר, מעל <math>span\mathbb{v_1,...,v_n\F}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\R}</math>.אזי

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם הגדרה: 'מרחב''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,. הסיבה היא שהspan ..,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר, <math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>. באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי  <math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math> באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>. הערה:<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש בנוסף הוא אכן מרחב, הוא המרחב התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math> הוכחהאם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל. '''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math> ===תכונות ===יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.#<math>A\subseteq span(A)</math>#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math># בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ====יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math># <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math> ===תרגילים=======תרגיל 1 ====במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר<math>S=\{\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)\}</math> מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\in span(S)</math> =====פתרון ===== שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש  <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)</math> שזה בעצם לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\1 & 3 & 2 & b\end{array}\right)</math>יש פתרון. נדרג ונבדוק  <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\1 & 3 & 2 & b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\0 & 1 & 4 & b-a\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -10 & 3a-2b\\0 & 1 & 4 & b-a\end{array}\right)</math> כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\in span(S)</math> כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math> ====תרגיל 2 ====במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math> הציגו את <math>span(S)</math> ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל?=====פתרון =====שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)</math> אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל <math>\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right)</math>  נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשוואה<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right)</math> (שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות). כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & a\\1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\end{array}\right)</math>יש פתרון  נדרג ונבדוק: <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & a\\1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\\1 & 2 & 1 & a\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\0 & 3 & 1 & d-b\\0 & 2 & 2 & a-b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\0 & 0 & -2 & d-b-3c\\0 & 0 & 0 & a-b-2c\end{array}\right)</math> רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math> לכן התשובה הסופית היא  <math>span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}= \{\left(\begin{array}{cc}b+2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\  \{b\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =  span\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math> כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.הנה עוד דוגמא ====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי. '''תרגיל.''' יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>  *<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>  *<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math> '''פתרון:''' נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות: <math>\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x \\1 & 1 & 1 & | & y \\1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}</math> נדרג את המערכת לקבל <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}</math> '''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה. (שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)  כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''. <math>\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}</math>

קל לראות שיש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>U+W=span\big(\frac{U\cup Wt-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.

הגדרה: יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> נקראים כלשהם אזי# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math># <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:*לפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס*מתקיים ששמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

הגדרה: וקטורים נקראים '''בלתי תלויים לינאריתהערה/משפט''' (בת תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"לאמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה) אם הם אינם תלויים לינארית.===דוגמאות ===

הגדרה: קבוצה A נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים====דוגמא 1====<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math><math>\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>בת"ל של וקטורים.]כי

משפט: וקטורים <math>v_1\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)=0</math> פירושו <math>\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>. ====דוגמא 2==== 2.(דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.האם הקבוצה <math>\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),v_n\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> בת"ל ? נתבונן ב<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)=0</math>ונמיר אותו להצגה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & 1 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק  <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל<math>\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}-t\\-t\\t\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right) </math>פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל. אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס  <math>-1\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)=0</math> ====דוגמא 3====יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל. לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1). ====דוגמא 4====<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל? פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי. לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math> ובצורה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1\\6 & 0 & 2\\0 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי. <math>\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\6 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל ====דוגמא 5====  '''תרגיל.''' האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?  '''פתרון:''' <math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם  <math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם <math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם <math>a=b=c=0</math> אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שלהם שמתאפס הוא הצירוף הלינארי הינו הטריוויאלי (כלומר, כל הסקלרים אפסים). זה נובע בקלות בעזרת שלילה לוגיתולכן הפולינומים בת"ל. ====דוגמא 6====הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל

<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ואחד לפחות ולפחות אחד מבין הסקלרים שווה אפסשונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>. הכיוון ההפוך עובד גם הוא (נעביר אגף ונקבל צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס שכן המקדם של <math>v_1</math> הינו אחד ולכן שונה מאפס).

שימו לב שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן ב) הוקטור הראשון אינו <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים.אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל

ממשפט זה קל '''שימו לב''' שיצא לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות. שכן אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,כמובן שזה לא נכון.זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

===תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות===הוכחממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:*<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> כאשר <math>A=(v_1 v_2 \cdots v_n)</math> הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math>

*במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר====תרגיל ====תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1}, כאשר v_{2},v_{3}</math>x=\beginוקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{pmatrix1}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end,v_{2},v_{pmatrix3}</math> מתקיים בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי<math>b=x_1v_1+...+x_nv_n\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.

*נניח והוקטורים שייכים למרחב ====תרגיל ====יהא <math>\mathbb{F}^n</math>. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אםמ"ם המטריצה הינה ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?)

===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות=======תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרוןמערכת משוואות לינאריות=====

*לפי כפל עמודה נכון לאמר ש יהיו <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+v_1,...+x_nv_n,v_n\in \mathbb{F}^m</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש נגדיר <math>b=x_1v_1+x_2v_2+A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...+x_nv_n,v_n</math>. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax '''הינה צירוף לינארי של עמודות (כלומר <math>C_i(A עם הסקלרים מ-x''')=v_i</math>).

*הוכחנו כבר בסעיף קודםהוכח כי:1.<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math>

*אם הוקטורים 3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> יוצא שהמטריצה הינה (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון ). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד למערכת הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. אם נציב b=0 מה ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש על הוקטורים במקרה זה?  =====פתרון יחיד ===== 1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>.  אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''. 3. אם המטריצה הפיכהאזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה. במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד אםשהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ם הצירוף הלינארי ל היחיד של הוקטורים עמודות <math>A</math> שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן '''המטריצה הפיכה אםהוא הצ"ם העמודות שלה ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל'''.  בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.

תארנו את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיסהגדרה:'''יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>.קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם# <math>B</math> בת"ל # <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math>

'''הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S. אזי S נקראת ''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס לW.אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית. ''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאותמשפט:*S פורשת את W''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומרכל שתי בסיסים <math>B, spanS=W.*S בת"ל. B'</math> בעלי אותה עוצמה (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותריםבעלי אותו מספר איברים).)

'''משפט: ''' לכל מרחב וקטורי '''קיים ''' בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו מספר. לכן מותר להגדיר את ההגדרה הבאה:

הגדרה===דוגמאות ===בסיסים סטנדרטים: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט), מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''המימד''' של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.

'''הגדרה: הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה1. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס.'''(המימד 3)

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה") 2. <math>V=תרגיל\mathbb{C}^{3\times2}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>) בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")הוכח 3. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1) בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math> 4.מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי. 5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math> הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויים 0 היא תלויה לינארית  ===תכונה חשובה של בסיס === תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס. אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''.  הוכחה יהי <math>v\in V</math> #כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math># יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש.יש למצוא קבוצה סופית '''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר <math>[v]_B=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\vdots\\\alpha_{n}\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}</math>אמ"מ<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math>    לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס === קריטריונים שקולים לבסיס === בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים תמבלי להשפיע על המרחב הנפרש. הטענה הנ"ל בתוך הקבוצהבאופן פורמאלי היא הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{0F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\subseteq Adots v_{n}\}</math>קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.  אזי <math>span(S)=span(S\setminus \{v_i\})</math> כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור האפס תמיד תלוי לינארית מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס. זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן. בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל.  אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math>  <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.  לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.  '''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא # כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס# לכל סקלר שונה מאפס קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס     (ובפרט לאחדחידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?) מתקיים  === תרגיל ===מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת <math>\begin{pmatrix} 1&-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}= 0 </math> פתרון: נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרונות הן <math>\{\begin{pmatrix} s \\-t\\s\\t\end{pmatrix} : t,s\in \mathbb{R}\} = span\{\begin{pmatrix} 1 \\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0\\1\end{pmatrix} \} </math> אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות === תרגיל ===מצא בסיס לתת המרחב <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\} </math>של<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> פתרון: כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית.נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן  <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}=span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)\}</math>

לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''לעולם אינה מהווה וזהו בסיס''' כי היא תהוקטורים האלה כבר בת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.

יהיה <math>V </math> מ"ו ותהי <math>S \subseteq V</math> תת קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים שS ש <math>S</math> היא בסיס לVל <math>V</math>:*# <math>S </math> בת"ל*#<math>spanS=V</math>*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: #<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.)

====תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח====פתרון====נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה שתרגיל: <math>V=\neq Wmathbb{R}^{2\times2}</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון השלם את<math>WS=\subseteq V</math> העובדה ש<math>V{v_{1}=\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>vleft(\in V</math> כך ש <math>vbegin{array}{cc}1 & 1\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט\0 & 1\end{array}\right). נסמן dimW,v_{2}=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW \left(אנחנו יודעים שקיים כזה\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right) <math>S,v_{3}=\left(\begin{v_1,...,v_narray}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math>. לבסיס

כעת, נוכיח שפתרון:ראינו כבר כי <math>span(S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.=

על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n\{\left(\begin{array}{cc}b+1 וקטורים2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b, כלומר יותר גדולה מהמימד. נשלים אותה לבסיס לV ונקבל בסיס לV עם יותר מ-n איבריםc, בסתירה.d\in \mathbb{R}\} =

*(1) <math>B </math> בסיס עבור <math>V</math> *(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>

נניח בשלילה שהתנאי התנאי הראשון אינו נכון: יהא <math>v\in span\{v_1, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר ..,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"לנובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.

כעתהתנאי השני: <math>span\{v_1, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math>

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ונקבל סתירה מכיוון שאז החיתוך הנ"ל יכיל את u ובפרט לא יהיה זר. ==משפט המימדים==יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחבים. אזי ומכייון שבהכרח <math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Uu \cap W)neq 0</math> ====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====#ניקח בסיס לU נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים שכולל רק את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודהווקטור האפס) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לV#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dimV = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>