שינויים
/* פתרון */
===תכונות ===
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים. # בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>
#<math>A\subseteq span(A)</math>
#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(WA)\subseteq span(B)</math># בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=Wspan\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math> ## באופן כללי מתקיים כי <math>span(רק אם A)+span(B)=span(A\cup B)</math>W. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ת"מ!ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)#</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה : אם <math>A\subseteq span(B)</math> אזי אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ====יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math># <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math>
===תרגילים===
\end{array}\right)\}</math>
=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאהבמשוואה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
</math>
הגדרות:
יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.
'''הערה/משפט''' תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"ל אמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה).
===דוגמאות ===
אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.
====דוגמא 6====
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל
===משפט===
הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>.
בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון <math>v_1=\sumsum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים. אזי <math>\sumsum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל
'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.
====תרגיל ====
תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי
<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.
====תרגיל ====
יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה)
אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====
יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).
יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).
==בסיס ומימד==
'''הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס. אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי S נקראת <math>V</math> יקרא נוצר סופית. '''בסיס לWמשפט:''' אם מתקיימות ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי התכונות הבאותבסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים). '''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס*S ===דוגמאות ===בסיסים סטנדרטים: 1. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד 3) בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה") 2. <math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>) בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה") 3. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1) בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math> 4.מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי. 5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math> הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית === תכונה חשובה של בסיס === תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס. אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''. הוכחה יהי <math>v\in V</math> #כיוון ש <math>B</math> פורשת את W<math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math># יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש. '''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר<math>[v]_B=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\vdots\\\alpha_{n}\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}</math>אמ"מ<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס === קריטריונים שקולים לבסיס === בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1}, spanS\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים. אזי <math>span(S)=Wspan(S\setminus \{v_i\})</math> כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.*זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן. בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S =\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל. אם קיים <math>v\in V\setminus span(כלומרS)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1}, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל. לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.
(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)
=== תרגיל ===
מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת
<math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}=0</math> פתרון: נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרונות הן <math>\{\begin{pmatrix} s \\-t\\s\\t\end{pmatrix} : t,s\in \mathbb{R}\} ==תרגיל===span\{\begin{pmatrix} 1 \\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0\\1\end{pmatrix} \} </math> אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונותהוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויה לינארית====הוכחהתרגיל ===מצא בסיס לתת המרחב <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\} </math>של<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> פתרון: יש למצוא כיוון שיש לנו כבר קבוצה סופית של וקטורים ת"פורשת, נותר רק ל בתוך הקבוצה: "זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית. נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\subseteq Aright)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>. וקטור האפס תמיד כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד) מתקיים בשניים הראשונים ולכן <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\cdot \2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}= span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)\}</math>.
===משפט השלישי חינם===
יהיה <math>V </math> מ"ו ותהי <math>S \subseteq V</math> תת קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים שS ש <math>S</math> היא בסיס לVל <math>V</math>:*# <math>S </math> בת"ל*#<math>spanS=V</math>*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: #<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.)
====תרגיל חשוב ==== תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את<math>S=\{v_{1}=\left(חלק מ7\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math>לבסיס פתרון:ראינו כבר כי <math>span(S)= \{\left(\begin{array}{cc}b+2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = span\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math> מכאן אפשר לראות בקלות כי# <math>S</math> בת"ל.7כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים). כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס === תרגיל חשוב ===יהיה <math>V </math> מרחב וקטורי, ויהי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W \leq V</math> תת מרחבמאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>). ''' הוכח: <math>W=V</הפרך'''math> פתרון: אם dimV נבחר <math>B=dimW \{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים שVכי# <math>span(B)=W בהכרח</math># <math>B</math> בת"ל. עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=פתרוןspan(B)=V</math> '''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים''' ====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת==== נתון שdimVש<math>\dim V=dimW\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים שנקבל סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
===תרגיל ===
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום.
לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)===הוכחה====ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:0\}</math>
מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.
ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.
==משפט המימדים= תרגיל ===[[משפט המימדים]]:הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>.
====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב=תרגיל ===#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ביהא <math>\{v_1,...,v_k\}V</math>#נשלים אותו לבסיס לUמ"ו. נסמן יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\2}</math>#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לWתתי מרחבים. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}<הוכיחו/math>#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה הפירכו: כל בסיס של <math>\W_{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\2}</math> הינה בסיס לU+W:##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי לצמצום לבסיס של איברים אלה (זה ברור)##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -kW_{1}</math>.
===תרגיל 87.317===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של Vותהא B קבוצה המוכלת בV. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!שהתנאים הבאים שקולים:
(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>
התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v==הוכחה====נוכיח בעזרת משפט המימדים ש dim(Ub_{j+W)1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=dimV ואז המשל 0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובעכי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.
התנאי השני: <math>dim(Uspan\{v_1,...,v_j\}+W)span\{v_{j+1},...,v_n\}=dimUspan\{v_1,...,v_j,v_{j+dimW-dim(U1},...,v_n \cap W}=span(B)=V</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U1) \cap WLeftarrow (2)<dimW </math> ולכן מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>dimW-dimV=span\phi\oplus span (UB/\cap Wphi)\geq 1=spanB</math>כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל. נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. ביחד מקבלים נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>dim(U+W)A=n-1 + dimW -dim(U\cap W){u\geq n-1+1=n=dimV}</math>. משל.ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)