שינויים

<math>\{1,\text{horse},3\}</math>, <math>\{1,2,3\}</math> ו<math>\{1,\{2,3\},\{\}\}</math>

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta triangle B</math>). מתקיים ש כי<math>x\in A\Delta triangle B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) </math><math>\iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>

<math> B \cap C = \emptysetvarnothing</math>

<math>C \backslash setminus A =\{\{1,2\}\}</math>

<math> B \Delta triangle C = B \cup C</math>

<math> A \Delta triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>

תכונות האיחוד והחיתוך (דומה לכפל וחיבור)*אסוציאטיביות: ב. <math>(A\cap B)varnothing \cap C = A\cap (B\cap C)</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*חילוף: <math>A\cap B = B\cap A</math> (וכנ"ל לגבי איחוד)*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)varnothing </math>

===תרגיל===הוכח כי ג. <math>(A\cap B)varnothing \cup C A = (A\cup C)\cap (B\cup C) </math>. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C)

=====פתרון=====א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. נראה שקילות בין התנאים של הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר להיות באחת הקבוצותבA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. נשים לב שמתקיים: <math>x\in (A\varnothing \cap B)\cup C A \iff [ x\in (A\cap B)] varnothing \or [and x\in C] A \iff [F \land x\in A \and x\in B] \or [x\in C]iff F </math>כלומר ההנחה שיש איברים בחיתוך שקולה לסתירה, ולכן אין שם איברים וזו הקבוצה הריקה.

כעת, מתוך הטאוטולוגיה ג. <math>(px\and q)in \or r varnothing \cup A \iff (px\or r)in \and(qvarnothing \or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>1x\in A\ \iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>(pF \lor x\land q)in A \iff (p)x\land (q)in A </math>)

====תרגיל===הוכח כי:א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A

גא. <math>A\phi cap (B\cup A smallsetminus C)= (A \cap B) \smallsetminus (A\cap C)</math>

====פתרון====אב. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>A\forall atriangle (B\incap C)=(A\phi : atriangle B) \in cap (A\triangle C)</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר. הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>===פתרון=====

גא. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה) פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות: <math>x\phi in A\cup cap (B\setminus C) \iff</math><math>(x\in A = ) \{and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math><math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math> בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה: <math>\iff [(x\in A) \phi and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or (x\notin A)]\iff</math><math>[(x\in A) \}= and (x\{in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math> וזה בדיוק מה שרצינו. הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית: בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A \cap(B\backslash C)</math>, ולכן <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math> <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math> <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן <math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math> <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math> (כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה) <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>  ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל: <math>A=\{1,2\},B=A \{1\},C=\{2\}</math>.

נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=[(n,n+1]) \cup (-n-1,-n)</math> אזי  א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math> ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math> ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math> הוכחה: א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות <math>A_1\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i cap A_2= [ 1,\infty ) phi</math>.

ג. נתייחס ל-<math>\bigcap _mathbb{iR}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_i B_n= \phi bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.