שינויים
/* פתרון */
נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:
אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math> (תרגיל לסטודנטים): יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>.
אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. כי אם מישהו שונה ממנו מתחתיו אז גם מתחת יהי <math>by\leq a</math> (טרנזיטיביות) וכיון ש-, ונניח בשלילה <math>by\neq a</math> מינימאלי ב-. לכן <math>y\in A\smallsetminus setminus \{a\}</math> . כעת מטרנזיטיבות נקבל שזה <math>y\leq b</math> בסתירה לכך ש- , וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land ab\neq leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math>בסתירה (כי <math>b\in A\setminus \{a\}</math>).
===הגדרה===
====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.
=====פתרון=====
יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים:
1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו.
2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .
==חסמים==
3. טרנז' - תרגיל
==== דוגמא דוגמה ====
נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המוגדר לעיל.
*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.
==תרגיילים == תרגיל ====נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> ותתי הקבוצות *<math>B_1 = \{(4,-x) | x\in \mathbb{N} \}</math> *<math>B_2 = \{(4,x) | x\in \mathbb{N} \}</math>*<math>B_3 = \{(x,4) | x\in \mathbb{N} \}</math> #מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_2,B_3</math> כאשר <math>(\mathbb{N},\leq)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם יחס המכפלה#מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B_1,B_2</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(\mathbb{Z},\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times \mathbb{Z}</math> עם היחס המילוני ==== תרגיל ====נסתכל על <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> ותתי הקבוצה <math>B = \{(4,\frac{1}{n+1}) | n\in \mathbb{N} \}</math> מצאו, אם קיימים, sup ו inf לקבוצות <math>B</math> כאשר <math>(\mathbb{N},|)</math> ו <math>(0,1],\leq)</math> ו <math>\mathbb{N}\times (0,1]</math> עם היחס המילוני ==== תרגיל ====יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שני יחסי סדר משווים הוכיחו/הפריכו:#יחס המכפלה על <math>A\times B</math> הוא משווה.#היחס המילוני על <math>A\times B</math> הוא משווה. ==== תרגיל ====#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> לא סופי המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\inf B\right\} =\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}</math> .#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> . ==תרגילים נוספים==
===תרגיל ממבחן===
=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה ו <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר מלא עליה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")
2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר 3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math> 4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math> ==== פתרון- ====יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>
נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>
מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.
=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 1,2,3,\dots,10\right\}</math> . עוד נגדיר <math>\mathbb{O}</math> להיות קבוצת כל יחסי השקילות על <math>X</math>.נגדיר יחס <math>\preceq</math> מעל <math>\mathbb{O}</math> על ידי הכלל <math>R_{1}\preceq R_{2}\iff\left(\left|X/R_{1}\right|<\left|X/R_{1}\right|\right)\lor\left(R_{1}=R_{2}\right)</math> כאשר <math>\left|X/R_{1}\right|</math> פירושו מספר האיברים בקבוצת המנה של היחס <math>R_{1}</math>.
1. הוכיחו: כי <math>\preceq</math> הוא יחס סדר על <math>\mathbb{O}</math>.
2. הוכיחו/הפריכו: זהו יחס סדר קווי
3. מצאו, אם קיימים, איבר קטן ביותר ב<math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math> ואיבר גדול ביותר ב <math>\left(\mathbb{O},\preceq\right)</math>
