הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 2 מד"ר הומוגנית ומד"ר לינאריות מסדר ראשון) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←מבחנים לדוגמא) |
||
(263 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות]] | ||
+ | |||
+ | =מבחנים לדוגמא= | ||
+ | *[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]], [[מדיה:18EngODEExmpTest1Sol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]], [[מדיה:18EngODEExmpTest2Sol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:18EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]], [[מדיה:18EngODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]] | ||
+ | *[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:19ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט]] | ||
+ | *[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב]] | ||
+ | *[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב]] | ||
+ | *[[מדיה:23ODEQuiz.pdf|בוחן תשפ"ג]], [[מדיה:23ODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:23EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestBSol.pdf|פתרון]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===מבחנים של מד"ר למדעי המוח=== | ||
+ | *[[מדיה:23BSODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestAPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד א' תשפ"ג]] | ||
+ | *[[מדיה:23BSODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestBPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד ב' תשפ"ג]] | ||
+ | |||
+ | =הרצאות= | ||
+ | |||
+ | [https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlMJrtihLjrl0d55Zk4Ggy6 פלייליסט של ההרצאות למחלקת מתמטיקה שנת תשפ"א] | ||
+ | |||
+ | |||
==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה== | ==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה== | ||
שורה 6: | שורה 36: | ||
*כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה. | *כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה. | ||
+ | |||
+ | *המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני ב[https://samyzaf.com/technion/ode/ode.pdf קישור הבא]. | ||
===נפילה חופשית=== | ===נפילה חופשית=== | ||
שורה 56: | שורה 88: | ||
− | ===סדר | + | ===סדר המד"ר=== |
*משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n. | *משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n. | ||
**המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני. | **המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני. | ||
**המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון. | **המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
===משוואות פרידות=== | ===משוואות פרידות=== | ||
שורה 76: | שורה 105: | ||
*<math>f(y)y'=g(x)</math> | *<math>f(y)y'=g(x)</math> | ||
*הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע. | *הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע. | ||
− | *<math>\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt</math> | + | *<math>\int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt=F(y)</math> |
− | * | + | *לכן ביחד נקבל <math>F(y)=G(x)+c</math> |
+ | *בעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים <math>f(y)dy=g(x)dx</math>, כל אחד לפי המשתנה שלו! | ||
*לדוגמא נפתור את המשוואה <math>y'=r\cdot y</math> כמשוואה פרידה. | *לדוגמא נפתור את המשוואה <math>y'=r\cdot y</math> כמשוואה פרידה. | ||
*ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי <math>\frac{1}{y}dy=rdx</math>. | *ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי <math>\frac{1}{y}dy=rdx</math>. | ||
− | *נשים לב כי הנחנו כאן כי <math>y | + | *נשים לב כי הנחנו כאן כי <math>y\neq 0</math>. |
*כעת <math>\int \frac{1}{y}dy=ln|y|</math>. | *כעת <math>\int \frac{1}{y}dy=ln|y|</math>. | ||
*<math>\int rdx=rx</math>. | *<math>\int rdx=rx</math>. | ||
שורה 96: | שורה 126: | ||
*בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה. | *בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה. | ||
+ | ====המרדף==== | ||
+ | *דוגמא יפה וחשובה מ[http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/ODEBook/ODE1.pdf הספר הזה] עמוד 19 של הספר (33 של הPDF) | ||
+ | *מרצה צועד במהירות קבועה <math>b</math> בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507. | ||
+ | *סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה <math>c</math>. | ||
+ | *המרצה מתחיל בנקודה <math>(0,0)</math> ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה <math>(a,0)</math> עבור <math>a>0</math>. | ||
+ | *באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב<math>y(x)</math> | ||
+ | *כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן. | ||
+ | *בזמן <math>t</math> המרצה נמצא בנקודה <math>(0,b\cdot t)</math> והסטודנט נמצא בנקודה <math>(x,y)</math>. | ||
+ | *השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר <math>y'=\frac{y-bt}{x}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת יש לנו שלושה משתנים <math>t,x,y</math>, כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט! | ||
+ | *המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל<math>c\cdot t</math>, כלומר <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=ct</math> | ||
+ | *מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי <math>t=\frac{y-xy'}{b}</math> | ||
+ | *ביחד נקבל כי <math>\int_x^a \sqrt{y'^2+1}=c\cdot \frac{y-xy'}{b}</math> | ||
+ | *נגזור את שני הצדדים ונקבל כי: | ||
+ | *<math>-\sqrt{y'^2+1}=\frac{c}{b}\cdot (-xy'')</math> | ||
+ | *<math>\frac{c}{b}xy''=\sqrt{y'^2+1}</math> | ||
+ | *נסמן <math>y'=z</math> ונקבל <math>\frac{c}{b}xz'=\sqrt{z^2+1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *זו מד"ר פרידה | ||
+ | *<math>\frac{c}{b\sqrt{z^2+1}}dz=\frac{1}{x}dx</math> | ||
+ | *באמצעות [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|ההצבה האוניברסאלית המתאימה]] <math>z=tan(t)</math> נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי | ||
+ | *<math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)+D</math> | ||
+ | *ברגע הראשון התקיים כי <math>x=a</math> והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר <math>y'(a)=0</math> כלומר <math>z(a)=0</math> | ||
+ | *לכן <math>\frac{c}{b}ln(\sqrt{z^2+1}+z)=ln(x)-ln(a)</math> | ||
+ | *<math>ln(\sqrt{z^2+1}+z)=\frac{b}{c}ln(\frac{x}{a})</math> | ||
+ | *<math>\sqrt{z^2+1}+z=\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת קצת אלגברה: | ||
+ | *<math>z+\sqrt{z^2+1}=A</math> | ||
+ | *<math>\frac{-1}{z-\sqrt{z^2+1}}=A</math> | ||
+ | *<math>z-\sqrt{z^2+1}=-\frac{1}{A}</math> | ||
+ | *נחבר למשוואה הראשונה | ||
+ | *<math>z=\frac{1}{2}\left(A-\frac{1}{A}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הרי <math>z=y'</math>, ולכן ביחד: | ||
+ | *<math>y'=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}}-\left(\frac{x}{a}\right)^{-\frac{b}{c}}\right)</math> | ||
+ | *ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי: | ||
+ | *<math>y=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{\frac{b}{c}+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{b}{c}+1} - | ||
+ | \frac{1}{1-\frac{b}{c}}\left(\frac{x}{a}\right)^{1-\frac{b}{c}}\right) + K</math> | ||
+ | *כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע <math>K</math> מהנתון <math>y(a)=0</math> | ||
+ | |||
+ | *באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט <math>b>c</math> נקבל שאיפה לאינסוף כאשר <math>x\to 0</math> והסטודנט לא יגיע למרצה. | ||
+ | *אם <math>b<c</math> הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה. | ||
+ | *אם <math>b=c</math> האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי) | ||
===הפיכת משוואה לפרידה=== | ===הפיכת משוואה לפרידה=== | ||
שורה 114: | שורה 196: | ||
*אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס. | *אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס. | ||
− | + | ==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי== | |
− | ==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית | + | |
===מד"ר הומוגנית=== | ===מד"ר הומוגנית=== | ||
+ | |||
+ | *מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>. | ||
+ | *נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה <math>z=\frac{y}{x}</math> באופן הבא: | ||
+ | **ראשית נסמן <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>. | ||
+ | **כעת נגזור את שני צידי המשוואה <math>zx=y</math>, ונקבל כי <math>z'x+z=y'</math>. | ||
+ | **לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה '''פרידה''' <math>z'x+z=g(z)</math>. | ||
+ | **נפריד את המשתנים <math>\frac{1}{g(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx</math>. | ||
+ | **ולכן <math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\ln|x|+C</math>. | ||
+ | **נמצא את <math>z</math> ונציב בחזרה <math>y=zx</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
*פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>. | *פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>. | ||
*לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1. | *לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1. | ||
− | *טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math> | + | *טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math>g(\frac{y}{x})</math> לכל <math>x\neq 0</math> אם"ם היא הומוגנית מסדר <math>0</math> לכל <math>x\neq 0</math>. |
*הוכחה: | *הוכחה: | ||
− | **אם <math>f(x,y)= | + | **אם <math>f(x,y)=g(\frac{y}{x})</math> אזי לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=g(\frac{\lambda y}{\lambda x})=g(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)</math>. |
− | **אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})= | + | **אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=g(\frac{y}{x})</math>. |
+ | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'=\frac{x^2+y^2}{xy}</math> | *דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'=\frac{x^2+y^2}{xy}</math> | ||
− | **<math> | + | **<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}</math> |
− | **<math>\int \frac{1}{ | + | **<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} </math> |
**<math>\frac{z^2}{2}=ln|x|+C</math> | **<math>\frac{z^2}{2}=ln|x|+C</math> | ||
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math> | **<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math> | ||
שורה 145: | שורה 230: | ||
− | *דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\ | + | *דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0</math> |
**<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math> | **<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math> | ||
− | **<math> | + | **<math>g(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}</math> |
− | **<math>\int \frac{1}{ | + | **<math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)</math> |
**<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math> | **<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math> | ||
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math> | **<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math> | ||
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math> | **<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math> | ||
− | |||
===מד"ר לינארית מסדר ראשון=== | ===מד"ר לינארית מסדר ראשון=== | ||
− | *הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+ | + | *הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math>. |
− | *מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+ | + | *מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+a(x)\cdot y=0</math>. |
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים. | *נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים. | ||
− | *נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+ | + | *נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+a(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''. |
− | *נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=- | + | *נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-a(x)dx</math>. |
− | *נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=- | + | *נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-A(x) +C</math>. |
− | *ולכן <math>y=C\cdot e^{- | + | *ולכן <math>y=C\cdot e^{-A(x)}</math> |
שורה 171: | שורה 255: | ||
− | *כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{- | + | *כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-A(x)}</math> במשוואה <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. |
− | *נקבל <math>C'(x)\cdot e^{- | + | *נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot C(x)\cdot e^{-A(x)} + a(x)\cdot C(x) \cdot e^{-A(x)}=b(x)</math> |
− | *משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{- | + | *משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-A(x)}=b(x)</math>. |
− | *כלומר <math>C'(x)= | + | *כלומר <math>C'(x)=b(x)\cdot e^{A(x)}</math>. |
− | *לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[ | + | *לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[b(x)\cdot e^{A(x)}\right]dx+C</math> |
− | *סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+ | + | *סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+a(x)\cdot y=b(x)</math> הוא: |
− | <math>e^{- | + | <math>e^{-A(x)}\cdot\left(C+\int\left(b(x)\cdot e^{A(x)}\right)dx\right)</math> |
*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>: | *דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>: | ||
+ | **ראשית, נשים לב כי <math>a(x)=-r</math> ו<math>b(x)=0</math>. | ||
+ | **כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר==== | ||
+ | *גוף בעל מסה <math>m</math> נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע <math>m\cdot g</math> ומצד שני מכוח התנגדות האוויר. | ||
+ | *במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע <math>b\cdot v^2</math>, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה <math>bv</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====במהירות גבוהה===== | ||
+ | *לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v^2</math>. | ||
+ | *כלומר <math>v'=g-\frac{b}{m}v^2</math> | ||
+ | *נבצע הפרדת משתנים <math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=dt</math> | ||
+ | *נבצע פירוק לשברים חלקיים: | ||
+ | *<math>\frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}=\frac{1}{(\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v)}=\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right)</math> | ||
+ | *ולכן <math>\int \frac{1}{g-\frac{b}{m}v^2}dv=\frac{\sqrt{m}}{2\sqrt{g\cdot b}}\ln\left|\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}\right|</math> | ||
+ | *מצד שני <math>\int dt=t+c</math> | ||
+ | *לכן <math>\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{b}{m}}\cdot v}=Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}</math> | ||
+ | *נסדר קצת <math>v=\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}\cdot \left(1-\frac{2}{1+Ce^{\left(2\sqrt{\frac{g\cdot b}{m}}t\right)}}\right)</math> | ||
+ | *נשים לב שכאשר <math>t\to\infty</math> אנו מתכנסים ל[https://en.wikipedia.org/wiki/Terminal_velocity מהירות הסופית] <math>\sqrt{\frac{g\cdot m}{b}}</math>. | ||
+ | *אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה. | ||
+ | |||
+ | =====במהירות נמוכה===== | ||
+ | *לפי החוק השני של ניוטון <math>m\cdot a = gm -b\cdot v</math>. | ||
+ | *כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית <math>v'+\frac{b}{m}v=g</math>. | ||
+ | *ולכן הפתרון הוא <math>v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int ge^{\frac{b}{m}t}dt+C\right)=\frac{g\cdot m}{b}+Ce^{-\frac{b}{m}t}</math>. | ||
+ | *וכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות שואפת למהירות הסופית <math>\frac{g\cdot m}{b}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===משוואת ברנולי=== | ||
+ | |||
+ | *משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה <math>y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n</math> עבור <math>n\neq 0,1</math>. | ||
+ | *נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור. | ||
+ | *נניח כי <math>y\neq 0</math>, ונחלק ב<math>y^n</math>. | ||
+ | *נקבל את המשוואה <math>\frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x)</math>. | ||
+ | *נציב <math>z=y^{1-n}</math>. | ||
+ | *נגזור <math>z'=(1-n)\frac{y'}{y^n}</math>. | ||
+ | *נקבל משוואה לינארית <math>\frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x)</math>. | ||
+ | *נפתור עבור <math>z</math> ונציב חזרה לקבל <math>y=z^{\frac{1}{1-n}}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'-2xy=2x^3y^2</math>. | ||
+ | **נציב <math>z=\frac{1}{y}</math>. | ||
+ | **נקבל <math>-z'-2xz=2x^3</math> ולכן <math>z'+2xz=-2x^3</math>. | ||
+ | **לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(\int \left(-2x^3e^{x^2}\right)dx+C\right)</math> | ||
+ | **לכן <math>z=e^{-x^2}\cdot\left(e^{x^2}(1-x^2)+C\right)</math> | ||
+ | **לכן <math>z=1-x^2+Ce^{-x^2}</math> | ||
+ | **ולבסוף <math>y=\frac{1}{1-x^2+Ce^{-x^2}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות | ||
+ | **נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע. | ||
+ | **<math>F=-bv-dv^2</math> ולכן <math>v'=-bv-dv^2</math> (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים). | ||
+ | **זוהי משוואת ברנולי, נציב <math>z=\frac{1}{v}</math>. | ||
+ | **לכן <math>z'-bz=d</math> | ||
+ | **נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית: | ||
+ | ***<math>z=e^{bt}\cdot (\frac{d}{-b}e^{-bt}+C)=Ce^{bt}-\frac{d}{b}</math> | ||
+ | **ולכן <math>v=\frac{1}{Ce^{bt}-\frac{d}{b}}</math> | ||
+ | **כמובן שכאשר <math>t\to\infty</math> המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - [https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function#Applications המשוואה הלוגיסטית] | ||
+ | **קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים. | ||
+ | **המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה. | ||
+ | **<math>y'=a\cdot y\cdot (1-by)</math> | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 3 משוואות מדוייקות== | ||
+ | |||
+ | ===הקדמה - פונקציות בשני משתנים=== | ||
+ | |||
+ | *נגזרות חלקיות | ||
+ | **דוגמא עבור <math>f(x,y)=x^2+xy</math> מתקיים <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y</math> ו<math>f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=x</math> | ||
+ | *עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי <math>f_{xy}=f_{yx}</math> (כלומר סדר הנגזרות לא משנה). | ||
+ | *כלל השרשרת: אם <math>g(t)=f(x(t),y(t))</math> אזי <math>g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'(t)</math> | ||
+ | *בפרט, עבור <math>g(x)=f(x,y(x))</math> מתקיים <math>g'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot y'</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===מד"ר מדוייקת=== | ||
+ | |||
+ | *מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math>, עבור <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית. | ||
+ | *פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה <math>U(x,y)=C</math>, כאשר C קבוע כלשהו. | ||
+ | *תהי מד"ר מהצורה <math>Pdx+Qdy=0</math> כאשר <math>P,Q</math> בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם <math>P_y=Q_x</math> | ||
+ | |||
+ | *הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת: | ||
+ | **נגזור את הפונקציה <math>g(x)=U(x,y(x))</math> לפי המשתנה <math>x</math> באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי <math>g'(x)=U_x(x,y)+U_y(x,y)y'</math> | ||
+ | **לפי הנתון <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math> נובע כי <math>g'(x)=0</math> ולכן <math>g(x)=U(x,y)=C</math> פונקציה קבועה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת: | ||
+ | **כיוון ראשון, נניח <math>Pdx+Qdy=0</math> מדוייקת. | ||
+ | ***לכן קיימת <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית כך ש <math>P=U_x,Q=U_y</math>. | ||
+ | ***לכן <math>P_y=U_{xy}=U_{yx}=Q_x</math>. | ||
+ | **כיוון שני, נניח כי <math>P_y=Q_x</math>. | ||
+ | ***אנו מחפשים <math>U(x,y)</math> עבורה <math>P=U_x</math>. | ||
+ | ***נעשה אינטגרציה לפי <math>x</math> ונקבל כי <math>U(x,y)=\int P(x,y)dx + c(y)</math>. | ||
+ | ***לכן ברור כי <math>U_x=P</math>, השאלה היא אם ניתן לבחור <math>c(y)</math> עבורו <math>U_y=Q</math>. | ||
+ | ***כלומר אנו רוצים <math>c'(y)=Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx</math> | ||
+ | ***משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx. | ||
+ | ***אכן <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)dx\right)=Q_x-P_y=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום <math>(2x+6y)dx+(6x+3y^2)dy=0</math>. | ||
+ | **ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>. | ||
+ | **נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>. | ||
+ | **נגזור לפי y ונקבל כי <math>Q=U_y=6x+c'(y)</math>. | ||
+ | **לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>. | ||
+ | **לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>. | ||
+ | **לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>x^2+6xy+y^3=C</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====גורם אינטגרציה==== | ||
+ | |||
+ | *לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה '''גורם אינטגרציה''') וכך נהפוך אותה למדוייקת. | ||
+ | *באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי מד"ר <math>Pdx+Qdy=0</math>, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה <math>\mu(x)</math> התלוי בx בלבד. | ||
+ | *כלומר <math>\mu\cdot Pdx+\mu\cdot Qdy=0</math> מדוייקת. | ||
+ | *לכן <math>(\mu\cdot P)_y=(\mu\cdot Q)_x</math>. | ||
+ | *כלומר <math>\mu\cdot P_y=\mu'\cdot Q+\mu\cdot Q_x</math>. | ||
+ | *לכן <math>\frac{\mu'}{\mu}=\frac{P_y-Q_x}{Q}</math>. | ||
+ | *ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד. | ||
+ | *במקרה זה, פתרון יהיה <math>\mu(x)=e^{\int\left(\frac{P_y-Q_x}{Q}\right)dx}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - המשוואה <math>y'=ry</math>. | ||
+ | **המשוואה הינה <math>-rydx+dy=0</math>. | ||
+ | **<math>P_y=-r\neq 0=Q_x</math> | ||
+ | **מתקיים כי <math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=-r</math> תלוי בx בלבד. | ||
+ | **לכן יש גורם אינטגרציה <math>\mu(x,y)=e^{-rx}</math> | ||
+ | **נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה. | ||
+ | **<math>-re^{-rx}ydx+e^{-rx}dy=0</math>. | ||
+ | **כעת <math>P_y=-re^{-rx}=Q_x</math>. | ||
+ | **<math>U(x,y)=\int Pdx +c(y) = e^{-rx}y+c(y)</math> | ||
+ | **<math>Q=U_y=e^{-rx}+c'(y)</math>. | ||
+ | **לכן <math>c'(y)=0</math> ואפשר לבחור <math>c(y)=0</math>. | ||
+ | **סה"כ <math>U(x,y)=e^{-rx}y=C</math>. | ||
+ | **(כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - המשוואה <math>(1-x^2y)dx+x^2(y-x)dy=0</math>. | ||
+ | **<math>\frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{-x^2-(2xy-3x^2)}{x^2(y-x)}=\frac{2x(x-y)}{x^2(y-x)}=-\frac{2}{x}</math> | ||
+ | **<math>\mu(x)=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2}</math>. | ||
+ | **אכן המשוואה <math>(\frac{1}{x^2}-y)dx+(y-x)dy=0</math> מדוייקת. | ||
+ | ***נבדוק: <math>P_y=-1=Q_x</math>. | ||
+ | **נפתור את המד"ר: | ||
+ | ***<math>U(x,y)=\int Pdx+c(y)=-\frac{1}{x}-yx+c(y)</math>. | ||
+ | ***<math>Q=U_y=-x+c'(y)</math>. | ||
+ | ***<math>c'(y)=y-x+x=y</math>. | ||
+ | ***<math>c(y)=\frac{y^2}{2}</math>. | ||
+ | ***סה"כ הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י <math>U(x,y)=-\frac{1}{x}-yx+\frac{y^2}{2}=C</math>. | ||
+ | ***אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ==הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות== | ||
+ | |||
+ | ===בעיית קושי=== | ||
+ | *מציאת פתרון למד"ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיימת <math>y(x_0)=y_0</math> | ||
+ | |||
+ | ===המשוואה האינטגרלית=== | ||
+ | *בעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math> עם <math>y(x_0)=y_0</math> שקולה למשוואה <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | **בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים. | ||
+ | ***אזי <math>\int_{x_0}^x y'(t)dt=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | ***לכן <math>y(x)-y(x_0)=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | ***ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי <math>y(x)-y_0=\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | **בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה. | ||
+ | ***נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה). | ||
+ | ***נציב במשוואה האינטגרלית את <math>x_0</math> ונקבל <math>y(x_0)=y_0+\int_{x_0}^{x_0}f(t,y(t))dt=y_0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===שיטת פיקרד=== | ||
+ | *נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות. | ||
+ | *נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית: | ||
+ | *נגדיר <math>\varphi_0=y_0</math>, ולכל <math>n</math> נגדיר <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>. | ||
+ | *מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) <math>y'=-ry</math>. | ||
+ | **<math>\varphi_0=y_0</math> | ||
+ | **<math>\varphi_1=y_0+\int_{x_0}^x(-ry_0)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))</math> | ||
+ | **<math>\varphi_2=y_0+\int_{x_0}^x\left(-r)\cdot(y_0-r\cdot y_0(t-x_0)\right)dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}</math> | ||
+ | **<math>\varphi_3=y_0+\int_{x_0}^x\varphi_2dt=y_0+y_0(-r(x-x_0))+y_0\frac{(-r(x-x_0))^2}{2}+y_0\frac{(-r(x-x_0))^3}{3!}</math> | ||
+ | **נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל<math>\varphi_n(x)\to y(x)=y_0e^{-r(x-x_0)}</math> | ||
+ | **אם נתון תנאי ההתחלה <math>y(0)=C</math> נקבל בדיוק את הפתרון <math>y=Ce^{-rx}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===ניסוח משפט הקיום והיחידות=== | ||
+ | *תהי <math>f(x,y)</math> רציפה ובעלת נגזרת <math>f_y</math> רציפה במלבן הסגור <math>|x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b</math>. | ||
+ | *נביט בבעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math>, עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=y_0</math> | ||
+ | *נבחר <math>M</math> חסם כך ש <math>|f(x,y)|<M</math> במלבן הנתון, ונסמן <math>a'=\min\{a,\frac{b}{M}\}</math>. | ||
+ | *אזי '''קיים''' פתרון '''יחיד''' <math>y(x)</math> לבעיית הקושי בתחום <math>|x-x_0|\leq a'</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הערות: | ||
+ | *שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם. | ||
+ | **אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים (<math>y'=(x+y)^2</math>). | ||
+ | **לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום. | ||
+ | *שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת). | ||
+ | *מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הוכחת הקיום=== | ||
+ | *נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי. | ||
+ | *הערה: נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>. | ||
+ | *כלומר, עלינו להוכיח כי לכל <math>x</math> המקיים <math>|x-x_0|\leq a'</math> מתקיים כי <math>|\varphi_n(x)-y_0|\leq b</math>. | ||
+ | **הפונקציה הראשונה <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן. | ||
+ | **כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>. | ||
+ | ***שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום <math>[x_0,x]</math> שנמצא בתחום התחום <math>[x_0,x_0+a']</math>. | ||
+ | **לכן <math>|\varphi_{n+1}(x)-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת, נשים לב לתכונה הבאה: | ||
+ | **כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K. | ||
+ | **לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש): | ||
+ | **ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>. | ||
+ | **לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^\infty\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)</math> מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא <math>\varphi_n</math> פחות קבוע). | ||
+ | **ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M(x-x_0)</math> | ||
+ | **כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{(x-x_0)^2}{2}</math> | ||
+ | **<math>|\varphi_3-\varphi_2|\leq \int_{x_0}^{x}K|\varphi_2-\varphi_1|dt=K^2M\frac{(x-x_0)^3}{3!}</math> | ||
+ | **נמשיך כך ונקבל כי <math> | ||
+ | \left|\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)\right|\leq | ||
+ | \sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq | ||
+ | \sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(x-x_0)^n}{n!}\leq | ||
+ | \sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!} | ||
+ | </math> | ||
+ | **זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה. | ||
+ | **הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח שפונקצית הגבול <math>\varphi_n\to y</math> היא פתרון של בעיית הקושי. | ||
+ | **נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף <math>\varphi_n=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))dt</math>. | ||
+ | **נקבל כי <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>. | ||
+ | **הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש. | ||
+ | |||
+ | ===הוכחת היחידות=== | ||
+ | |||
+ | *טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|\leq a</math> מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע. | ||
+ | **<math>|g|\leq M</math>. | ||
+ | **<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq KM(x-x_0)</math>. | ||
+ | **<math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g|dt\leq K\int_{x_0}^x KM(t-x_0)dt=K^2M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>. | ||
+ | **נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq K^nM\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>. | ||
+ | **לכן <math>|g|\leq K^n M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>. | ||
+ | **לכן <math>g=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>: | ||
+ | **<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_2)-f(t,y_1))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_2)-f(t,y_1)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>. | ||
+ | **לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה== | ||
+ | *נחקור כעת משוואות מהצורה <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math> | ||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך. | ||
+ | **נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX. | ||
+ | **הכוח הפועל על המסה הוא <math>-kX</math>. | ||
+ | **לכן לפי החוק השני של ניוטון <math>mX''=-kX</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח. | ||
+ | **מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה. | ||
+ | **<math>mX''=-kX-dX'</math> | ||
+ | **היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הורדת סדר המשוואה=== | ||
+ | ====מד"ר מסדר גבוה ללא y==== | ||
+ | *אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה <math>u=y'</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני <math>mX''=C</math>. | ||
+ | **נביט בפונקצית המהירות <math>V=X'</math> ונקבל את המשוואה <math>mV'=C</math> מסדר ראשון. | ||
+ | |||
+ | ====הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x==== | ||
+ | *תהי מד"ר מהצורה <math>y''=f(y',y)</math>. | ||
+ | *ראשית נחפש פונקציה <math>p</math> המקיימת את המד"ר מסדר ראשון <math>p'(t)p(t)=f(p(t),t)</math> | ||
+ | **נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר. | ||
+ | *כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו <math>y'=p(y)</math> | ||
+ | *פונקציה כזו תקיים כי <math>y''=p'(y)y'=p'(y)p(y)=f(p(y),y)=f(y',y)</math> | ||
+ | *כלומר היא מהווה פתרון למד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====דוגמא - משוואות הקפיץ===== | ||
+ | **נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t). | ||
+ | **נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה <math>y''=-ky</math>. | ||
+ | **אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה <math>pp'=-ky</math>. | ||
+ | ***זו משוואה פרידה <math>pdp=-kydy</math> ולכן <math>\frac{p^2}{2}=-\frac{ky^2}{2}+C</math>. | ||
+ | ***לכן <math>p(y)=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>. | ||
+ | **לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה <math>y'=\pm\sqrt{C-ky^2}</math>. | ||
+ | ***<math>\int \frac{dy}{\sqrt{C-ky^2}}=\pm \int dt</math>. | ||
+ | ***<math>\frac{1}{\sqrt{k}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{k}{c}}y\right)=\pm t+D</math>. | ||
+ | ***<math>\sqrt{\frac{c}{k}}\cdot sin\left(\pm\sqrt{k}t+D\right)</math>. | ||
+ | ***שימו לב שהביטוי <math>\sqrt{\frac{c}{k}}</math> מייצג קבוע חיובי כלשהו. | ||
+ | ***שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון. | ||
+ | **שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====דוגמא - מהירות מילוט===== | ||
+ | *גוף בעל מסה <math>m</math> נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות <math>v_0</math>, נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב<math>r</math>. | ||
+ | **מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו <math>v(r)</math>. | ||
+ | **מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי <math>r(t)\to \infty</math> כאשר <math>t\to \infty</math>? | ||
+ | |||
+ | *נסמן את מסת כדור הארץ ב<math>m_e</math>, את רדיוס כדור הארץ ב<math>R_e</math>, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב<math>G</math> ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב<math>g</math> | ||
+ | **ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה <math>m</math> הוא בקירוב <math>mg=\frac{Gm_e m}{R_e^2}</math> כלומר <math>g=\frac{Gm_e}{R_e^2}</math> ולכן <math>gR_e^2 = Gm_e</math> | ||
+ | **המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא: | ||
+ | ***<math>mr''=-\frac{Gm_e m}{r^2}</math> כלומר <math>r''=-\frac{Gm_e}{r^2}=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math> | ||
+ | **זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה <math>t</math> | ||
+ | **נחפש <math>p</math> עבורה <math>p(r)=r'</math> ולכן <math>pp'=r''</math> | ||
+ | ***<math>pp'=-\frac{gR_e^2}{r^2}</math> | ||
+ | ***נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל | ||
+ | ***<math>\frac{p^2}{2}=\frac{gR_e^2}{r}+C</math> | ||
+ | ***לכן <math>p(r)=\pm\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי | ||
+ | **<math>r'=\sqrt{C+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | *על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה: | ||
+ | **הגובה הראשוני הוא <math>r=R_e</math> ובו המהירות היא <math>v_0</math> | ||
+ | **<math>v_0=\sqrt{C+2gR_e}</math> | ||
+ | **<math>C=v_0^2-2gR_e</math> | ||
+ | *הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ נקבל כי <math>v(r)=\sqrt{v_0^2-2gR_e+\frac{2gR_e^2}{r}}</math> | ||
+ | |||
+ | *מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס. | ||
+ | *לכן מהירות המילוט מקיימת כי <math>v_0^2 = 2gR_e</math> ולכן <math>v_0 =\sqrt{2gR_e}</math> | ||
+ | **לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ<math>v_0</math> ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש <math>r\to \infty</math>), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע. | ||
+ | **לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן <math>r\to\infty</math>. | ||
+ | **אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי <math>r\to\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | ===מד"ר לינארית=== | ||
+ | *מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>. | ||
+ | *אם <math>f(x)\equiv 0</math> אזי המד"ר נקראת הומוגנית. | ||
+ | *בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=b_0,y'(x_0)=b_1,...,y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}</math> | ||
+ | *משפט קיום ויחידות: אם <math>a_i(x),f(x)</math> רציפות בקטע <math>I</math> ויהי <math>x_0\in I</math>, אזי קיים פתרון יחיד בקטע <math>I</math> לבעיית הקושי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר את אופרטור הגזירה <math>D</math> על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים. | ||
+ | *<math>a(x)D</math> גם הוא אופרטור לינארי | ||
+ | *לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ <math>Ty=f(x)</math> כאשר <math>T=D^n+\sum_{k=1}^{n-1} a_k(x)\cdot D^k + I </math> אופרטור לינארי. | ||
+ | |||
+ | ====מד"ר לינארית הומוגנית==== | ||
+ | *אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי. | ||
+ | **זה הרי הגרעין של האופרטור <math>T</math> המתואר לעיל | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תזכורת: <math>y_1,...,y_n</math> נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש <math>c_1y_1+...+c_ny_n\equiv 0</math> (הצירוף הוא פונקצית האפס). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגדרה: הוורונסיקאן <math>W(x)</math> של הפונקציות <math>y_1,...,y_n</math> הוא הדטרמיננטה <math>\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ | ||
+ | y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & &\vdots\\ | ||
+ | y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} | ||
+ | |||
+ | \end{pmatrix}\right|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>y_1,...,y_n</math> ת"ל אזי <math>W(x)\equiv 0</math>. | ||
+ | **נתון כי <math>c_1y_1+...+c_ny_n=0</math> | ||
+ | **נגזור <math>c_1y_1'+...+c_ny_n'=0</math> | ||
+ | **נמשיך ולגזור ונקבל שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>c_1y_1^{(k)}+...+c_ny_n^{(n-1)}=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>\begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ | ||
+ | y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & &\vdots\\ | ||
+ | y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} | ||
+ | |||
+ | \end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}=0</math> | ||
+ | **כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>W(x_0)=0</math> עבור <math>x_0\in I</math> כלשהו עבור <math>y_1,...,y_n</math> '''פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית''' עם מקדמים רציפים בקטע <math>I</math>, אזי הפתרונות ת"ל ו<math>W(x)\equiv 0</math>. | ||
+ | **כיוון ש<math>W(x_0)=0</math> קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math> | ||
+ | c_1y_1^{(k)}(x_0)+...+c_ny_n^{(k)}(x_0)=0</math>. | ||
+ | **נביט בפונקציה <math>g(x)=c_1y_1(x)+...+c_ny_n(x)</math>, לפי לינאריות גם <math>g(x)</math> פתרון של המד"ר. | ||
+ | **כיוון שלכל <math>0\leq k\leq n-1</math> מתקיים כי <math>g^{(k)}(x_0)=0</math> ולפי יחידות הפתרון, נובע כי <math>g(x)\equiv 0</math> (הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל <math>x^2,x|x|</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **נביט בוורונסקיאן של <math>e^{\lambda_1x},...,e^{\lambda_nx}</math>. | ||
+ | **<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | e^{\lambda_1x} & \cdots & e^{\lambda_nx} \\ | ||
+ | \vdots & & \vdots \\ | ||
+ | \lambda_1^{n-1}e^{\lambda_1x} & \cdots & \lambda_n^{n-1}e^{\lambda_nx} | ||
+ | \end{pmatrix}\right|=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & \cdots & 1 \\ | ||
+ | \vdots & & \vdots \\ | ||
+ | \lambda_1^{n-1}& \cdots & \lambda_n^{n-1} | ||
+ | \end{pmatrix}\right|</math> | ||
+ | **זו מטריצת ונדרמונד ולכן <math>W(x)=e^{(\lambda_1+...+\lambda_n)x}\prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i)</math> | ||
+ | **לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה <math>\lambda_i\neq\lambda_j</math> | ||
+ | |||
+ | *הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \left|\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 &\cdots & 1 \\ | ||
+ | \lambda_1 & \lambda_2 &\cdots & \lambda_n\\ | ||
+ | \vdots & && \vdots \\ | ||
+ | \lambda_1^{n-2}&\lambda_2^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\ | ||
+ | \lambda_1^{n-1}& \lambda_2^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1} | ||
+ | \end{pmatrix}\right|= | ||
+ | </math> | ||
+ | :נבצע את פעולות השורה<math>R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1</math> | ||
+ | :<math>=\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & \cdots & 1 \\ | ||
+ | 0&\lambda_2-\lambda_1&\cdots&\lambda_n-\lambda_1\\ | ||
+ | \vdots & && \vdots \\ | ||
+ | 0&\lambda_2^{n-3}(\lambda_2-\lambda_1)&\cdots&\lambda_n^{n-3}(\lambda_n-\lambda_1)\\ | ||
+ | 0&\lambda_2^{n-2}(\lambda_2-\lambda_1)& \cdots & \lambda_n^{n-2}(\lambda_n-\lambda_1) | ||
+ | \end{pmatrix}\right|= | ||
+ | (\lambda_2-\lambda_1)\cdots(\lambda_n-\lambda_1)\cdot | ||
+ | \left|\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 &\cdots & 1 \\ | ||
+ | \lambda_2 & \lambda_3 &\cdots & \lambda_n\\ | ||
+ | \vdots & && \vdots \\ | ||
+ | \lambda_2^{n-2}&\lambda_3^{n-2}&\cdots&\lambda_n^{n-2}\\ | ||
+ | \lambda_2^{n-1}& \lambda_3^{n-1}&\cdots & \lambda_n^{n-1} | ||
+ | \end{pmatrix}\right| | ||
+ | </math> | ||
+ | :כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה | ||
+ | :ומכאן סיימנו באינדוקציה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n. | ||
+ | **לכל <math>0\leq k\leq n-1</math> נגדיר את <math>y_k</math> להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה <math>y_k^{(k)}(x_0)=1</math> ואם <math>j\neq k</math> אז <math>y_k^{(j)}(x_0)=0</math>. | ||
+ | **נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס. | ||
+ | ***<math>W(x_0)=|I|=1</math> ולכן הפתרונות בת"ל. | ||
+ | ***עבור תנאי ההתחלה <math>y^{(k)}(x_0)=b_k</math> פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא <math>b_0y_0+...+b_{n-1}y_{n-1}</math>, ולכן הקבוצה פורשת. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: משוואת המסה על קפיץ <math>x''+kx=0</math> | ||
+ | **נביט בפתרונות <math>x_1=cos\left(\sqrt{k}t\right),x_2=sin\left(\sqrt{k}t\right)</math>, הן אכן פותרות את המשוואה. | ||
+ | **נביט בוורונסקיאן <math>\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | cos\left(\sqrt{k}t\right) & sin\left(\sqrt{k}t\right)\\ | ||
+ | -\sqrt{k}sin\left(\sqrt{k}t\right) & \sqrt{k}cos\left(\sqrt{k}t\right) | ||
+ | \end{pmatrix}\right|=\sqrt{k}\neq 0</math> | ||
+ | **לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)</math> | ||
+ | |||
+ | ====מד"ר לינארית לא הומוגנית==== | ||
+ | |||
+ | *פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית | ||
+ | **הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: <math>y''=-ky+g</math> מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה. | ||
+ | **נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל. | ||
+ | **נחפש פתרון מהצורה <math>y=a</math>. | ||
+ | **נציב ונקבל <math>y=\frac{g}{k}</math>. | ||
+ | *לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{g}{k}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: <math>x''=-kx+sin(t)</math> מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן. | ||
+ | **נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל. | ||
+ | **נחפש פתרון מהצורה <math>x=asin(t)</math>. | ||
+ | **<math>-asin(t)=-kasin(t)+sin(t)</math>. | ||
+ | **<math>a(k-1)sin(t)=sin(t)</math>. | ||
+ | **משוואה זו תתקיים עבור <math>a=\frac{1}{k-1}</math>. | ||
+ | *לכן פתרון כללי למד"ר הוא <math>x(t)=c_1\cdot cos\left(\sqrt{k}t\right) + c_2\cdot sin\left(\sqrt{k}t\right)+\frac{1}{k-1}sin(t)</math>. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים== | ||
+ | |||
+ | ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים. | ||
+ | |||
+ | ===פולינום אופייני=== | ||
+ | |||
+ | *נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> כאשר <math>a_i\in\mathbb{R}</math>. | ||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | **משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>. | ||
+ | **<math>y''-2y'+y=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ננחש פתרון למד"ר מהצורה <math>y=e^{\lambda x}</math>. | ||
+ | *נציב במד"ר ונקבל <math>\lambda^ne^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda x} +...+a_0e^{\lambda x}=0</math>. | ||
+ | *לכן <math>\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_0=0</math>. | ||
+ | *נגדיר את '''הפולינום האופייני''' של המד"ר להיות <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>. | ||
+ | *לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: <math>y''=y</math> | ||
+ | **נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני: | ||
+ | ***<math>y''-y=0</math> | ||
+ | ***<math>p(x)=x^2-1</math> | ||
+ | **לכן השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm 1</math>. | ||
+ | **לכן שני פתרונות למד"ר הם <math>e^x,e^{-x}</math>. | ||
+ | **ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1e^{x}+c_2e^{-x}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)? | ||
+ | *מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו? | ||
+ | *הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''+ky=0</math> הוא <math>x^2+k</math>. | ||
+ | *הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> הוא <math>x^2-2x+1=(x-1)^2</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת: | ||
+ | **ראשית, אם <math>a+bi</math> שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום. | ||
+ | **נזכר גם כי <math>e^{ibx}=\cos(bx)+i\sin(bx)</math> | ||
+ | **כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים <math>a\pm bi</math> לכן <math>e^{(a\pm bi)x}</math> הן פתרונות. | ||
+ | **לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון: | ||
+ | ***<math>\frac{1}{2}\left(e^{ax+ibx}+e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\cos(bx)</math> | ||
+ | ***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math> | ||
+ | ***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>. | ||
+ | **הפולינום האופייני הינו <math>x^2+k=0</math>. | ||
+ | **שורשי הפולינום האופייני הינם <math>\pm\sqrt{k}i</math>. | ||
+ | **הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם <math>e^{0\cdot x}\cos\left(\sqrt{k}x\right),e^{0\cdot x}\sin\left(\sqrt{k}x\right)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו: | ||
+ | **ראשית, נביט באופרטור הלינארי <math>D=\frac{d}{dx}</math> ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב<math>I</math> את אופרטור הזהות. | ||
+ | **למשל המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> ניתנת להצגה כ<math>\left(D^2-2D+I\right)y=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)y=0</math>. | ||
+ | **הפולינום האופייני של המד"ר הוא <math>(x-1)^2=0</math> ולכן <math>y=e^x</math> הוא פתרון. | ||
+ | **כעת, נראה כי גם <math>xe^x</math> הוא פתרון של המד"ר. | ||
+ | ***<math>\left(D-I\right)\left(D-I\right)xe^x=\left(D-I\right)(e^x+xe^x-xe^x)=0</math> | ||
+ | **באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא <math>n</math> אזי לכל <math>0\leq k \leq n-1</math> הביטוי <math>x^ke^{\lambda x}</math> הוא פתרון. | ||
+ | |||
+ | ===סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים=== | ||
+ | |||
+ | *מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים). | ||
+ | *לכל שורש ממשי <math>\lambda</math> מריבוי <math>n</math> מתאימים הפתרונות <math>e^{\lambda x},xe^{\lambda x},...,x^{n-1}e^{\lambda x}</math>. | ||
+ | *לכל שורש מרוכב <math>a+bi</math> מריבוי <math>n</math> (ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות <math>e^{ax}\cos(bx),e^{ax}\sin(bx),xe^{ax}\cos(bx),xe^{ax}\sin(bx),...,x^{n-1}e^{ax}\cos(bx),x^{n-1}e^{ax}\sin(bx)</math> | ||
+ | *סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות. | ||
+ | *הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם. | ||
+ | **נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים). | ||
+ | **<math>P_1e^{\lambda_1 x}+...+P_ne^{\lambda_n x} \equiv 0</math>. | ||
+ | **נניח ש<math>|\lambda_i|\leq|\lambda_n|</math>, נחלק ב<math>e^{\lambda_n x}</math>. | ||
+ | **נציב <math>x=t\overline{\lambda_n}</math> ונשאיף את <math>t\to\infty</math>. | ||
+ | **נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס. | ||
+ | **לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס. | ||
+ | **כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר <math>y^{(4)}-6y'''+14y''-16y'+8y=0</math>. | ||
+ | **ראשית, נמצא את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^4-6x^3+14x^2-16x+8=0</math>. | ||
+ | **ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי <math>p(x)=(x-2)^2(x^2-2x+2)</math>. | ||
+ | **לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו<math>1\pm i</math> מריבוי 1. | ||
+ | **לכן הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}+c_3e^xsin(x)+c_4e^xcos(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר <math>y'''+3y''+3y'+y=0</math> המקיים <math>y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0</math>. | ||
+ | **הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^3</math>. | ||
+ | **הפתרון הכללי הוא <math>y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_3x^2e^{-x}</math>. | ||
+ | **כעת נמצא את הקבועים: | ||
+ | ***<math>y(0)=c_1=0</math>. | ||
+ | ***<math>y'(0)=c_2=1</math>. | ||
+ | ***<math>y''(0)=-2+2c_3=0</math> ולכן <math>c_3=1</math>. | ||
+ | **סה"כ הפתרון הוא <math>y=e^{-x}(x+x^2)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===גישה מבוססת אופרטורים=== | ||
+ | |||
+ | *נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה: | ||
+ | *<math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y = (D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0 I)y=Ty</math> | ||
+ | *נגדיר את הפולינום האופייני <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
+ | *סה"כ האופרטור של המד"ר הוא <math>T=p(D)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים | ||
+ | *<math>p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)</math> | ||
+ | *ונקבל כי <math>T=p(D)=(D-\lambda_1 I)\cdots (D-\lambda_n I)</math> | ||
+ | **שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש <math>D,\lambda I</math> אופרטורים מתחלפים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם <math>\lambda</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי <math>k</math> אזי | ||
+ | **<math>\ker\left((D-\lambda I)^k\right)\subseteq \ker T</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית== | ||
+ | |||
+ | *כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית. | ||
+ | *נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים=== | ||
+ | *תהי מד"ר מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>f(x)=P_m(x)</math> פולינום מדרגה m: | ||
+ | **<math>0</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני, ננחש <math>y_p=Q_m(x)</math> פולינום מדרגה m. | ||
+ | **אם <math>0</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^kQ_m(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>f(x)=e^{ax}P_m(x)</math>: | ||
+ | **אם <math>a</math> '''אינו''' שורש של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}Q_m(x)</math>. | ||
+ | **אם <math>a</math> שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}Q_m(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>f(x)=e^{ax}sin(bx)P_m(x)</math> או <math>f(x)=e^{ax}cos(bx)P_m(x)</math>: | ||
+ | **אם <math>a\pm bi</math> '''אינם''' שורשים של הפולינום האופייני ננחש <math>y_p=e^{ax}sin(bx)Q_m(x) + e^{ax}cos(bx)R_m(x)</math> (כאשר <math>R_m(x),Q_m(x)</math> פולינומים מסדר m). | ||
+ | **אם <math>a\pm bi</math> שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש <math>y_p=x^ke^{ax}sin(bx)Q_m(x) + x^ke^{ax}cos(bx)R_m(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | **עבור <math>y''+2y'+y=x^2</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=(x+1)^2</math> ננחש את הפתרון <math>y_p=ax^2+bx+c</math>. | ||
+ | **עבור <math>y''+2y'+y=e^{x}</math> כעת <math>1</math> אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש <math>y_p=ae^x</math>. (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.) | ||
+ | **עבור <math>y''+2y'+y=xe^{-x}</math> כעת <math>-1</math> הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון <math>y_p=x^2e^{-x}(a+bx)</math>. | ||
+ | **עבור <math>y''+y=sin(x)</math> הפולינום האופייני הוא <math>p(x)=x^2+1</math> השורש <math>0+i</math> מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש <math>y_p=axsin(x)+bxcos(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה: | ||
+ | **המד"ר <math>y''+2y'+y=x^2</math>, הניחוש <math>y_p=ax^2+bx+c</math>. | ||
+ | ***<math>y_p'=2ax+b</math>. | ||
+ | ***<math>y_p''=2a</math>. | ||
+ | ***נציב <math>2a+4ax+2b+ax^2+bx+c=x^2</math>. | ||
+ | ***נבצע השוואת מקדמים: | ||
+ | ****<math>a=1</math>. | ||
+ | ****<math>4a+b=0</math>. | ||
+ | ****<math>2a+2b+c=0</math>. | ||
+ | **לכן הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=x^2-4x+6</math>. | ||
+ | **סה"כ הפתרון הכללי הוא <math>c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+x^2-4x+6</math>. | ||
+ | |||
+ | ===וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית=== | ||
+ | |||
+ | *תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה <math>y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)</math>. | ||
+ | *יהיו <math>y_1,...,y_n</math> פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית. | ||
+ | *ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה - עבור פונקציות <math>c_1(x),...,c_n(x)</math> המקיימות את מערכת המשוואות | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{cases} | ||
+ | c_1'y_1+...+c_n'y_n=0 \\ | ||
+ | c_1'y_1'+...+c_n'y_n'=0 \\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | c_1'y_1^{(n-2)} +...+c_n'y_n^{(n-2)}=0\\ | ||
+ | c_1'y_1^{(n-1)}+...+c_n'y_n^{(n-1)}=f(x) | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | מתקיים כי <math>y_p=c_1(x)y_1+...+c_n(x)y_n</math> הוא פתרון פרטי של המד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **<math>y_p'=c_1'y_1+\cdots+c_n'y_n+c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'=c_1y_1'+\cdots+c_ny_n'</math>. (לפי המשוואה הראשונה.) | ||
+ | **באופן דומה <math>y_p''=c_1y_1''+\cdots+c_ny_n''</math>. (לפי המשוואה השנייה.) | ||
+ | **נמשיך כך עד שנקבל <math>y_p^{(n-1)} = c_1y_1^{(n-1)}+\cdots +c_ny_n^{(n-1)}</math> | ||
+ | **כעת נגזור ונקבל <math>y_p^{(n)}=f(x)+c_1y_1^{(n)}+\cdots+c_ny_n^{(n)}</math>, לפי המשוואה האחרונה. | ||
+ | **נציב במד"ר המקורית: | ||
+ | ***<math>y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\cdots + a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)+c_1(y_1^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_1)+\cdots+c_n(y_n^{(n)}+\cdots+a_0(x)y_n)</math> | ||
+ | **כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן <math>y_p'''+a_2(x)y_p''+a_1(x)y_p'+a_0(x)y_p=f(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נכתוב '''שוב''' את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות): | ||
+ | **ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל <math>0\leq m\leq n-1</math> מתקיים כי | ||
+ | **<math>D^m y_p = D^m \sum_{k=1}^n c_k(x)y_k = \sum_{k=1}^n c_k(x)D^m y_k</math> | ||
+ | **כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי | ||
+ | **<math>D^n y_p = D D^{n-1}y_p = D\sum_{k=1}^nc_k(x)D^{n-1}y_k=\sum_{k=1}^n c'_k(x)D^{n-1}y_k + \sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k</math> | ||
+ | **נציב במד"ר ונקבל | ||
+ | **<math>Ty_p=D^ny_p +\sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^ty_p=f(x)+\sum_{k=1}^nc_k(x)D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)\left(\sum_{k=1}^n c_k(x)D^t y_k\right)=</math> | ||
+ | **<math>=f(x)+\sum_{k=1}^n c_k(x)\left(D^ny_k + \sum_{t=0}^{n-1}a_t(x)D^t y_k\right) = f(x)+0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה: | ||
+ | *<math> | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 & \cdots & y_n \\ | ||
+ | \vdots & & \vdots \\ | ||
+ | y_1^{(n-2)} & \cdots & y_n^{(n-2)}\\ | ||
+ | y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | c_1' \\ \vdots \\ c_n' | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | *אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן! | ||
+ | *כיוון ש<math>y_1,...,y_n</math> בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל <math>x</math> ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת. | ||
+ | *כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר. | ||
+ | *לאחר שנמצא את הערכים של <math>c_k'(x)</math> נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math>. | ||
+ | **פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1cos(x)+c_2sin(x)</math>. | ||
+ | **כעת עלינו למצא פתרון פרטי <math>y_p=c_1(x)cos(x)+c_2(x)sin(x)</math>. | ||
+ | **עלינו למצוא פתרון למערכת <math> | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | cos(x) & sin(x) \\ | ||
+ | -sin(x) & cos(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | c_1'(x) \\ c_2'(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\ sin^2(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | ** לכן לפי שיטת קרמר | ||
+ | ***<math> | ||
+ | c_1'(x)=\frac{ | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & sin(x) \\ | ||
+ | sin^2(x) & cos(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \right| | ||
+ | } | ||
+ | { | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | cos(x) & sin(x) \\ | ||
+ | -sin(x) & cos(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \right| | ||
+ | }=-sin^3(x) | ||
+ | </math> | ||
+ | ***<math> | ||
+ | c_2'(x)=\frac{ | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | cos(x) & 0 \\ | ||
+ | -sin(x) & sin^2(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \right| | ||
+ | } | ||
+ | { | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | cos(x) & sin(x) \\ | ||
+ | -sin(x) & cos(x) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \right| | ||
+ | }=sin^2(x)cos(x) | ||
+ | </math> | ||
+ | ***לכן <math>c_1(x)=\int (-sin^3(x))dx = \int (1-cos^2(x))(-sin(x))dx=\{t=cos(x)\}=\int (1-t^2)dt=t-\frac{t^3}{3}=cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3}</math> | ||
+ | ***<math>c_2(x)=\int sin^2(x)cos(x)dx =\{t=sin(x)\}= \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} = \frac{sin^3(x)}{3}</math> | ||
+ | **סה"כ הפתרון הפרטי הוא <math>y_p=(cos(x)-\frac{cos^3(x)}{3})cos(x) + \frac{sin^3(x)}{3}sin(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | *שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק. | ||
+ | *מתקיים כי <math>sin^2(x)=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos(2x)</math>. | ||
+ | *נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_1}</math> למד"ר <math>y''+y=\frac{1}{2}</math> בשיטת הניחוש. | ||
+ | *נמצא פתרון פרטי <math>y_{p_2}</math> למד"ר <math>y''+y=-\frac{1}{2}cos(2x)</math> בשיטת הניחוש. | ||
+ | *לכן <math>y_p=y_{p_1}+y_{p_2}</math> הוא פתרון פרטי למד"ר <math>y''+y=sin^2(x)</math> מתוך לינאריות. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור== | ||
+ | ===שימוש בטורי טיילור=== | ||
+ | *ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים. | ||
+ | *גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור. | ||
+ | **הזיזו את האינדקס של הטור <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}</math> כך שהחזקה תהיה <math>k</math>. | ||
+ | **אנחנו רוצים להציב <math>k=n-2</math> ולכן <math>n=k+2</math>. | ||
+ | **כיוון ש<math>n</math> מתחיל מ4, נובע ש<math>k</math> יתחיל מ2. | ||
+ | **סה"כ נקבל כי <math>\sum_{n=4}^\infty na_{2n+1}x^{n-2}=\sum_{k=2}^\infty (k+2)a_{2k+5}x^k</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>. | ||
+ | *עבור <math>x\neq 0</math> מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור <math>y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math>. | ||
+ | *שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נציב במשוואה ונקבל: | ||
+ | *<math>x\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2} -(x+2)\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}+2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0</math> | ||
+ | *<math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} -\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n} - \sum_{n=1}^\infty 2na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n=0</math> | ||
+ | *<math>\sum_{k=1}^\infty (k+1)ka_{k+1}x^{k} -\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k} - \sum_{k=0}^\infty 2(k+1)a_{k+1}x^{k}+\sum_{k=0}^\infty 2a_kx^k=0</math> | ||
+ | *<math>-2a_1+2a_0+\sum_{k=1}^\infty \left((k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k\right)x^k=0</math> | ||
+ | *לכן: | ||
+ | **<math>a_0=a_1</math> | ||
+ | **לכל <math>k\geq 1</math> מתקיים <math>(k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k=0</math>. | ||
+ | ***עבור <math>k=2</math> מקבלים <math>0=0</math>. | ||
+ | ***עבור <math>k\neq 2</math> נחלק ב<math>k-2</math> ונקבל <math>(k+1)a_{k+1}=a_k</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ המשוואות שקיבלנו הן | ||
+ | **<math>a_1=a_0</math> | ||
+ | **<math>a_2=\frac{1}{2}a_1</math> | ||
+ | **<math>a_4=\frac{1}{4}a_3</math> | ||
+ | **<math>a_5=\frac{1}{5}a_4</math> | ||
+ | **וכן הלאה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נשים לב כי באופן כללי <math>a_0,a_3</math> חופשיים. | ||
+ | *עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=0</math> נקבל את הפתרון <math>y=\frac{1}{2}x^2+x+1</math>. | ||
+ | *עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=\frac{1}{3!}</math> נקבל את הפתרון <math>y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=e^x</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נבדוק שהפתרונות בת"ל: | ||
+ | **<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}e^x & \frac{1}{2}x^2+x+1\\ e^x & x+1\end{pmatrix}\right|=-\frac{e^xx^2}{2}</math> | ||
+ | **לכל <math>x\neq 0</math> הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל. | ||
+ | **שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור <math>x\neq 0</math>. | ||
+ | **אכן ב<math>x=0</math> משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים <math>y(0)=1, y'(0)=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====מציאת פתרון פרטי==== | ||
+ | *דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=x^3e^x</math>. | ||
+ | *ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית <math>y''-\frac{x+2}{x}y'+\frac{2}{x}y=x^2e^x</math> | ||
+ | *נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר. | ||
+ | **נחפש פתרון מהצורה <math>y_p=c_1(x)e^x+c_2(x)\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>. | ||
+ | **כעת <math>c_1'=\frac{\left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}x^2+x+1 \\ x^2e^x & x+1\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=x^2+2x+2</math> | ||
+ | **לכן <math>c_1(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+2x</math>. | ||
+ | **כמו כן, <math>c_2'=\frac{\left|\begin{pmatrix} e^x & 0 \\ e^x & x^2e^x\end{pmatrix}\right|}{W(x)}=-2e^x</math> | ||
+ | **לכן <math>c_2(x)=-2e^x</math>. | ||
+ | *סה"כ הפתרון הפרטי הינו <math>y_p=\left(\frac{1}{3}x^3+x^2+2x\right)e^x-2e^x\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right) = e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math> | ||
+ | *לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)+e^x\left(\frac{1}{3}x^3-2\right)</math> | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 9 מערכות מד"ר== | ||
+ | |||
+ | ===מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים=== | ||
+ | *לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות. | ||
+ | *נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז. | ||
+ | *A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה. | ||
+ | *נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא <math>\alpha\cdot A</math> וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא <math>\beta\cdot B</math>. | ||
+ | *לכן <math>\begin{cases}A'=\beta B - \alpha A \\ B' = \alpha A - \beta B\end{cases}</math> | ||
+ | *נסמן את שתי הפונקציות ב<math>y_1,y_2</math> ונניח כי <math>\alpha =1, \beta=2</math>. | ||
+ | *נקבל את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כלומר <math>\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת. | ||
+ | *במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי. | ||
+ | *עבור ו"ע מתקיים כי <math>A\vec{v}=\lambda \vec{v}</math>. | ||
+ | *כיוון שהוקטור <math>\vec{v}</math> הוא וקטור קבועים, <math>\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)'=\lambda\vec{v}e^{\lambda x} = A\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)</math>. | ||
+ | *כלומר, <math>\vec{y}=\vec{v}e^{\lambda x}</math> הוא פתרון למערכת. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *בחזרה לדוגמא: | ||
+ | **הע"ע של <math>\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}</math> הם <math>0,-3</math>. | ||
+ | **הו"ע המתאימים הם <math>\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | **הפתרון הכללי הוא <math>\vec{y}=c_1\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}e^0+c_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{-3x}</math> | ||
+ | **כלומר <math>y_1=2c_1+c_2e^{-3x}</math> ו<math>y_2=c_1-c_2e^{-3x}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע. | ||
+ | *שימו לב ש<math>c_1=\frac{y_1(0)+y_2(0)}{3}</math>, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני==== | ||
+ | *נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ. | ||
+ | *נניח כי <math>y_2<y_1</math> מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן. | ||
+ | *נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה. | ||
+ | *נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד. | ||
+ | *לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=k(y_1-y_2)\end{cases}</math> | ||
+ | *שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי) | ||
+ | *נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הע"ע של A הינם <math>0,-2k</math>. | ||
+ | *עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>0</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=0</math>. | ||
+ | **לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=0</math>, ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=0=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>. | ||
+ | **כלומר <math>\vec{y}=\vec{v}(c_1t+c_2)</math> הוא פתרון למערכת. | ||
+ | *עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>-2k</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=-2k\vec{v}</math>. | ||
+ | **לכן אם נבחר <math>f(t)</math> כך ש<math>f''=-2kf</math> ונבחר <math>\vec{y}=\vec{v}f(t)</math> אזי נקבל <math>\vec{y}''=-2k\vec{v}f(t)=A\vec{v}f(t)=A\vec{y}</math>. | ||
+ | **לכן <math>\vec{y}=\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\vec{v}</math> הוא פתרון למשוואה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ביחד קיבלנו פתרון כללי <math>\vec{y}=(c_1t+c_2)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\left(c_3cos\left(\sqrt{2k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{2k}t\right)\right)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} </math> | ||
+ | *תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות. | ||
+ | |||
+ | ====קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון==== | ||
+ | *נביט במד"ר <math>f(x,y,y',...,y^{(n)})=0</math>. | ||
+ | *נסמן <math>y_1=y,y_2=y',...,y_n=y^{(n-1)}</math>. | ||
+ | *לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ f(x,y_1,...,y_n,y_n')=0\end{cases}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *בפרט, המד"ר הלינארית <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> שקולה למערכת <math>\begin{cases}y_1'=y_2 \\ \vdots \\ y_{n-1}'=y_n \\ y_n'=-a_{n-1}y_{n}-...-a_0y_1\end{cases}</math> | ||
+ | *בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כאשר: | ||
+ | **<math>\vec{y}=\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}</math> | ||
+ | **<math>A=\begin{pmatrix} | ||
+ | & 1 \\ | ||
+ | & & 1 \\ | ||
+ | & & & \ddots \\ | ||
+ | & & & & 1\\ | ||
+ | -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | *הפולינום האופייני של <math>A</math> הוא: | ||
+ | **<math>p_A(x)=\left|\begin{pmatrix} | ||
+ | x & -1 \\ | ||
+ | & x & -1 \\ | ||
+ | & & \ddots & \ddots \\ | ||
+ | & & & x& -1\\ | ||
+ | a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} & x+a_{n-1} | ||
+ | \end{pmatrix}\right|</math> | ||
+ | **ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0</math>, בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע. | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 10 התמרת לפלס== | ||
+ | *התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות. | ||
+ | *עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>. | ||
+ | *שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s. | ||
+ | *אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>. | ||
+ | **<math>\left|\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt\right|\leq \int_0^\infty\left|e^{-st}y(t)\right|dt\leq \int_0^\infty Me^{(a-s)t}dt=\left[M\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^\infty</math> | ||
+ | **הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>. | ||
+ | *נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה <math>1</math>. | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(1)=\int_0^\infty e^{-st}dt = \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *בויקיפדיה ניתן למצוא [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1#%D7%98%D7%91%D7%9C%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1 טבלה של התמרות לפלס שימושיות]. | ||
+ | *שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה <math>u(t)=\begin{cases}1 & t\geq 0\\ 0 & t<0\end{cases}</math> שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx. | ||
+ | **הפונקציה <math>u(t-a)</math> מאפסת את ציר הx בקטע <math>(-\infty,a)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===תכונות התמרת לפלס=== | ||
+ | *יחידות: | ||
+ | **אם <math>y_1,y_2</math> רציפות, ו<math>\mathcal{L}(y_1)=\mathcal{L}(y_2)</math> אזי <math>y_1=y_2</math>. | ||
+ | **[http://ctr.maths.lu.se/media/MATC12/2013ht2013/uniqueness.pdf הוכחה] | ||
+ | *לינאריות: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(y_1+ay_2) = \mathcal{L}(y_1)+a\mathcal{L}(y_2)</math> | ||
+ | *התמרת הנגזרת הראשונה: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> | ||
+ | *התמרת נגזרת כללית: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(y^{(n)})=s^n\mathcal{L}(y)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-...-y^{(n-1)}(0)</math> | ||
+ | *הזזה של המשתנה s: | ||
+ | **אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>F(s-a)=\mathcal{L}(e^{at}y)</math> | ||
+ | *הזזה של המשתנה t: | ||
+ | **אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>e^{-as}F(s)=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math> | ||
+ | *תכונות נוספות: | ||
+ | **אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math> | ||
+ | **אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty')=-F(s)-sF'(s)</math> | ||
+ | **אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty'')=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה. | ||
+ | *נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי <math>\mathcal{L}(y')=sF(s)-y(0)</math> | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(y')=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt</math> | ||
+ | **נבצע אינטגרציה בחלקים | ||
+ | **<math>\int_0^\infty e^{-st}y'(t)dt=\left[e^{-st}y(t)\right]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt = -y(0)+sF(s)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>. | ||
+ | *וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===דוגמאות=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט | ||
+ | *נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math> | ||
+ | *<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math> | ||
+ | *סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נמצא פתרון למד"ר <math>y'=ry</math>. | ||
+ | *נבצע התמרת לפלס: | ||
+ | **<math>0=\mathcal{L}(y'-ry)=sF(s)-y(0)-rF(s)</math> | ||
+ | **<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math> | ||
+ | **לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס | ||
+ | *נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math> | ||
+ | *נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>: | ||
+ | **נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math> | ||
+ | **נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math> | ||
+ | *נקבל סה"כ כי | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math> | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח כי <math>\mathcal{L}(e^{at}y(t)) = F(s-a)</math> | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(e^{at}y(t))=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}y(t)dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}y(t)dt=F(s-a)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נפתור את המד"ר <math>y''-2y'+2y=0</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=1</math>. | ||
+ | *שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה. | ||
+ | *התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן. | ||
+ | *נבצע התמרת לפלס: | ||
+ | **<math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)-2(sF(s)-y(0))+F(s)=0</math> | ||
+ | **<math>F(s)=\frac{1}{s^2-2s+2} = \frac{1}{(s-1)^2+1}</math> | ||
+ | *ידוע ש<math>G(s)=\frac{1}{s^2+1}</math> הינה ההתמרה של <math>sin(t)</math>. | ||
+ | *לכן <math>F(s)=G(s-1)</math> הינה ההתמרה של <math>e^tsin(t)</math>, וזהו פתרון המד"ר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח כי אם <math>F(s)=\mathcal{L}(y)</math> אזי <math>\mathcal{L}(ty)=-F'(s)</math> | ||
+ | *<math>F(s)=\int_0^\infty e^{-st}y(t)dt</math>. | ||
+ | *נגזור את שני הצדדים לפי <math>s</math> ונקבל כי | ||
+ | **<math>F'(s)=\frac{\partial}{\partial s} \int_0^\infty e^{-st}y(t)dt=\int_0^\infty -te^{-st}y(t)dt=-\mathcal{L}(ty)</math> | ||
+ | **את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכן, <math>\mathcal{L}(ty') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y') = -\frac{\partial}{\partial s}(sF(s)-y(0)) = -F(s)-sF'(s)</math> | ||
+ | *כמו כן, <math>\mathcal{L}(ty'') = -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(y'') = -\frac{\partial}{\partial s}(s^2F(s)-sy(0)-y'(0)) = -(2sF(s)+s^2F'(s)-y(0))</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נחשב את <math>\mathcal{L}(t^n)</math>. | ||
+ | **ידוע כי <math>\mathcal{L}(1)=\frac{1}{s}</math> | ||
+ | **לכן <math>\mathcal{L}(t)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(1)= \frac{1}{s^2}</math> | ||
+ | **לכן <math>\mathcal{L}(t^2)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t)= \frac{2}{s^3}</math> | ||
+ | **לכן <math>\mathcal{L}(t^3)=-\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}(t^2)= \frac{3!}{s^4}</math> | ||
+ | **ובאופן כללי <math>\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===דוגמא=== | ||
+ | *נפתור את המד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>. | ||
+ | *נבצע התמרת לפלס: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(xy''-(x+2)y'+2y)=\mathcal{L}(xy'')-\mathcal{L}(xy')-2\mathcal{L}(y')+2\mathcal{L}(y)=</math> | ||
+ | **<math>=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)+F(s)+sF'(s)-2sF(s)+2y(0)+2F(s)</math> | ||
+ | **לכן קבלנו את המשוואה <math>(s-s^2)F'(s)+(3-4s)F(s)=-3y(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *קיבלנו מד"ר לינארית. | ||
+ | *לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את <math>y'+\frac{3-4x}{x-x^2}y=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math> | ||
+ | **נסמן <math>P(x)=\frac{3-4x}{x-x^2}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-1}</math>, ו<math>Q(x)=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math> | ||
+ | **לכן <math>e^{-\int P(x)}=\frac{1}{x^3(x-1)}</math>. | ||
+ | **כמו כן <math>\int Q(x)e^{\int P(x)} = \int \frac{-3y_0}{x-x^2}x^3(x-1) = \int 3y_0x^2=y_0x^3</math> | ||
+ | **סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא <math>y=\frac{1}{x^3(x-1)}\left(y_0x^3+C\right)=\frac{y_0}{x-1}+\frac{C}{x^3(x-1)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחזור לסימון התמרת הלפלס: | ||
+ | **<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-1}+\frac{C}{s^3(s-1)}=\frac{y(0)+C}{s-1} - C\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^3}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית: | ||
+ | **<math>y=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=(y(0)+C)e^x - C(1+x+\frac{1}{2}x^2)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===דוגמא=== | ||
+ | |||
+ | *נמצא פתרון למד"ר <math>ty''+2y'+ty=0</math> המקיים <math>y(0)=1</math>. | ||
+ | **נבצע התמרת לפלס <math>-2sF(s)-s^2F'(s)+1+2sF(s)-2-F'(s)=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>F'(s)=-\frac{1}{1+s^2}</math> | ||
+ | **לכן <math>\mathcal{L}(ty)=\frac{1}{1+s^2}</math> | ||
+ | **לכן <math>ty=sin(t)</math> | ||
+ | **לכן <math>y=\frac{sin(t)}{t}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הערות: | ||
+ | **הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה. | ||
+ | **מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני <math>\frac{cos(t)}{t}</math> אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==הרצאה 12 - הדלתא של דירק== | ||
+ | |||
+ | ===הדלתא של דירק=== | ||
+ | *נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו. | ||
+ | *הדלתא של דירק '''אינה פונקציה''', אלא מייצגת תהליך. | ||
+ | *למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0)</math> לכל פונקציה <math>f(x)</math> הרציפה ב<math>0</math>. | ||
+ | *כמו כן, <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=\{t=x-a\}=\int_{-\infty}^\infty f(t+a)\delta(t)dt=f(a)</math> לכל פונקציה הרציפה בa. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות <math>\delta_n(x)=\begin{cases}n & 0\leq x \leq \frac{1}{n}\\ 0 & x< 0 \vee x>\frac{1}{n}\end{cases}</math> | ||
+ | *כאשר <math>n\to\infty</math> לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים כי <math>\delta_n(x)\to 0</math> ועבור <math>x=0</math> מקבלים כי <math>\delta_n(x)\to \infty</math>. | ||
+ | *לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x)dx=1</math>. | ||
+ | *עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס. | ||
+ | *עבור <math>f(x)</math> הרציפה בסביבה של <math>0</math> מתקיים כי: | ||
+ | **<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx=\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx</math> | ||
+ | **לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי <math>\int_0^{\frac{1}{n}}nf(x)dx=nf(c_n)\cdot \frac{1}{n}=f(c_n)\to f(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר את <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_n(x)dx</math> | ||
+ | *נשים לב כי לפי גישה זו <math>\int_{-\infty}^0f(x)\delta(x)dx=0</math> ו<math>\int_0^\infty f(x)\delta(x)dx =f(0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק: | ||
+ | *לכל <math>a\geq 0</math> מתקיים <math>\mathcal{L}(\delta(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}\delta(t-a)dt=e^{-sa}</math> | ||
+ | *בפרט <math>\mathcal{L}(\delta(t))=1</math> | ||
+ | |||
+ | ===תגובת הלם=== | ||
+ | |||
+ | *נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה. | ||
+ | *נניח שברגע <math>t=a</math> מישהו נתן 'פליק' למסה. | ||
+ | *הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'. | ||
+ | *כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא <math>\delta(t-a)</math>, בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ. | ||
+ | *למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר <math>y''+ky=\delta(t-a)</math> | ||
+ | *באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות <math>y''+ky=\delta_n(t-a)</math>. | ||
+ | *על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב<math>[0,\infty)</math> כמו <math>\delta_n(x)=\begin{cases}ne^{-nx} & x\geq 0 \\ 0 & x<0\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נוכיח כעת את הנוסחא <math>e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math> עבור <math>a>0</math>: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}u(t-a)y(t-a)dt = \int_a^\infty e^{-st}y(t-a)dt=</math> | ||
+ | **נבצע את ההצבה <math>x=t-a</math> ונקבל: | ||
+ | **<math>=\int_0^\infty e^{-s(x+a)}y(x)dx =e^{-sa}\int_0^\infty e^{-sx}y(x)dx=e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נפתור את המערכת עם התמרת לפלס: | ||
+ | **<math>\mathcal{L}(y''+ky)=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-sa}</math>. | ||
+ | **כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, <math>y(0)=y'(0)=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>F(s)=\frac{e^{-sa}}{s^2+k}</math>. | ||
+ | **ולכן <math>y=u(t-a)\frac{sin(\sqrt{k}(t-a))}{\sqrt{k}}</math>. | ||
+ | **(הרי <math>\mathcal{L}(sin(\sqrt{k}t))=\frac{\sqrt{k}}{s^2+k}</math>). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אכן, עד רגע <math>t=a</math> המערכת במנוחה <math>y=0</math>. | ||
+ | *לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים <math>y(a)=0,y'(a)=1</math>. | ||
+ | *כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נפתור את המערכת <math>y''+ky=\delta(x-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(0)=0,y'(0)=-1</math>. | ||
+ | **נפעיל התמרת לפלס <math>s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}</math> | ||
+ | **לכן <math>F(s)=\frac{e^{-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}s}-1}{s^2+k}</math> | ||
+ | **לכן <math>y(t)=\frac{1}{\sqrt{k}}\left(u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})sin(\sqrt{k}(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}}))-sin(\sqrt{k}t)\right)</math> | ||
+ | **לכן <math>y(t)=\frac{u(t-\frac{2\pi}{\sqrt{k}})-1}{\sqrt{k}}sin(\sqrt{k}t)</math> | ||
+ | **כלומר בזמן <math>t=\frac{2\pi}{\sqrt{k}}</math> ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא - נפתור את המד"ר <math>y'''-y=\delta(t-1)</math> עבור תנאי ההתחלה <math>y(0)=y'(0)=y''(0)=0</math>. | ||
+ | **נבצע התמרת לפלס ונקבל כי <math>s^3F(s)-F(s)=e^{-s}</math>. | ||
+ | **לכן <math>F(s)=\frac{e^{-s}}{s^3-1}=e^{-s}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math> | ||
+ | **ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)</math>: | ||
+ | ***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right)=e^t</math> | ||
+ | ***<math>\frac{s+2}{s^2+s+1}=\frac{s+2}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{s+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}</math> | ||
+ | ***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s+\frac{1}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)=e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math> | ||
+ | ***<math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{3}{2}\frac{1}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right) | ||
+ | =\mathcal{L}^{-1}\left( | ||
+ | \sqrt{3}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}} | ||
+ | {\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} | ||
+ | \right) | ||
+ | =\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) | ||
+ | </math> | ||
+ | ***לכן <math>\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{s+2}{s^2+s+1}\right)=e^t-e^{-\frac{t}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\sqrt{3}e^{-\frac{t}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)</math> | ||
+ | **ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו <math> | ||
+ | y=\frac{u(t-1)}{3}\left[ | ||
+ | e^{t-1}-e^{-\frac{t-1}{2}}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right)- | ||
+ | \sqrt{3}e^{-\frac{t-1}{2}}sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)\right) | ||
+ | \right]</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==הרצאה 13 - משוואת אוילר== | ||
+ | |||
+ | *משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה: | ||
+ | **<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> | ||
+ | |||
+ | *נסמן את פונקצית האקפוננט <math>\exp(t)=e^t</math> | ||
+ | *נפתור את המד"ר ל<math>x>0</math> | ||
+ | *נגדיר <math>u=y\circ \exp</math> כלומר <math>u(t)=y(e^t)</math>. | ||
+ | *נקבל כי | ||
+ | **<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math> | ||
+ | **<math>u''(t)=e^{2t}y''(e^t)+e^ty'(e^t) = e^{2t}y''(e^t)+u'(t)</math> | ||
+ | **<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math> | ||
+ | **באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן את האופרטור המתאים למד"ר: | ||
+ | **<math>H=a_n x^n D^n +...+a_0 I</math> | ||
+ | **לכן <math>Hy\circ\exp (t)=a_n e^{nt}y^{(n)}(e^t)+...+a_0y(e^t)</math> | ||
+ | **לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל<math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם. | ||
+ | *נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב<math>K=c_nD^n+...+c_0I</math> | ||
+ | **סה"כ הוכחנו כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *את הגרעין של <math>K</math> אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים. | ||
+ | *אם <math>u</math> פתרון למד"ר המתאים ל<math>K</math> אז עבור <math>y=u\circ \ln</math> מתקיים כי <math>K(y\circ\exp)=0</math> | ||
+ | *לכן <math>Hy\circ \exp =0</math> ולכן <math>Hy=0</math> בחיוביים, שהרי זו התמונה של <math>\exp</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אבל איך נמצא את הפתרונות ל<math>Ku=0</math>? צריך למצוא את הפולינום האופייני. | ||
+ | *עבור <math>y=x^r</math> נקבל כי <math>Hy\circ\exp=K(y\circ\exp)=K(e^{rt})=c_nr^n e^{rt}+...+c_0 e^{rt}</math> | ||
+ | *אם נחלק ב<math>e^{rt}</math> נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר <math>Ku=0</math>, זו נקראת '''המשוואה האינדנציאלית''' של משוואת האוילר המקורית. | ||
+ | *במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית: | ||
+ | **נציב <math>x^r</math> במשוואת האוילר | ||
+ | **נציב <math>x=e^t</math> ונחלק ב<math>e^{rt}</math> (או בעצם נחלק מראש ב<math>x^r</math> שזה שקול) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של <math>K</math>, נרכיב אותם על <math>ln(x)</math> ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי: | ||
+ | **<math>u(t)=t^me^{rt}</math> פתרון של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>. | ||
+ | **ולכן <math>y(x)=u(ln(x))=ln^m(x)x^r</math> פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>. | ||
+ | *אם <math>r=a\pm bi</math> זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי: | ||
+ | **<math>u(t)=t^me^{at}cos(bt),t^me^{at}sin(bt)</math> פתרונות של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>. | ||
+ | **לכן <math>y(x)=ln^m(x)x^acos(bln(x)),ln^m(x)x^asin(bln(x))</math> פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל <math>0\leq m\leq k-1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>x^3y'''-x^2y''+2xy'-2y=0</math> | ||
+ | **נציב <math>y=x^r</math> ונקבל את המשוואה האינדנציאלית <math>r(r-1)(r-2)-r(r-1)+2r-2=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>r(r-1)(r-2)-(r-2)(r-1)=0</math>. | ||
+ | **כלומר <math>(r-2)(r-1)(r-1)=0</math>. | ||
+ | **לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1x^2+c_2x+x_3xln(x)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>xy''+y'+\frac{y}{x}=0</math> | ||
+ | **נעביר לצורה של משוואת אוילר <math>x^2y''+xy'+y=0</math>. | ||
+ | **המשוואה האינדנציאלית היא <math>r(r-1)+r+1=0</math>. | ||
+ | **כלומר <math>r^2+1=0</math>. | ||
+ | **לכן הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1sin(ln(x))+c_2cos(ln(x))</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **מצאו פתרון כלשהו למד"ר <math>x^2y''-2xy'+2y=x^3e^x</math> | ||
+ | **ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר. | ||
+ | **לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים. |
גרסה אחרונה מ־22:03, 28 בינואר 2024
88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות
תוכן עניינים
- 1 מבחנים לדוגמא
- 2 הרצאות
- 2.1 הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- 2.2 הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
- 2.3 הרצאה 3 משוואות מדוייקות
- 2.4 הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות
- 2.5 הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- 2.6 הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
- 2.7 הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית
- 2.8 הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור
- 2.9 הרצאה 9 מערכות מד"ר
- 2.10 הרצאה 10 התמרת לפלס
- 2.11 הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס
- 2.12 הרצאה 12 - הדלתא של דירק
- 2.13 הרצאה 13 - משוואת אוילר
מבחנים לדוגמא
- מבחן לדוגמא 1, פתרון
- מבחן לדוגמא 2, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ח, פתרון
- מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח, פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ט, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ט, פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט
- מבחן מועד א' תשפ"א, פתרון מבחן מועד א' תשפ"א
- מבחן מועד ב' תשפ"א, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א
- מבחן מועד א' תשפ"ב, פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב
- מבחן מועד ב' תשפ"ב, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב
- בוחן תשפ"ג, פתרון בוחן תשפ"ג
- מבחן מועד א' תשפ"ג, פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג
- מבחן מועד ב' תשפ"ג, פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג
- בוחן הנדסה תשפ"ג, פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג
- מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג, פתרון
- מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג, פתרון
מבחנים של מד"ר למדעי המוח
הרצאות
פלייליסט של ההרצאות למחלקת מתמטיקה שנת תשפ"א
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
- המלצה: ניתן להעזר בספר המצויין על מד"ר של סמי זעפרני בקישור הבא.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה .
- נסמן ב את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
- היא המהירות
- היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה , הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן ולכן גם .
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה .
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי .
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר היא הריבית השנתית.
המשוואה
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר המד"ר
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה היא משוואה מסדר ראשון.
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה .
- נהוג גם להחליף ולכן המשוואה תרשם כך .
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה , כלומר .
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- לכן ביחד נקבל
- בעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים , כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי .
- נשים לב כי הנחנו כאן כי .
- כעת .
- .
- וביחד .
- לכן .
- לכן .
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) .
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
המרדף
- דוגמא יפה וחשובה מהספר הזה עמוד 19 של הספר (33 של הPDF)
- מרצה צועד במהירות קבועה בקו ישר בשדרה שמוביל אל בניין 507.
- סטודנט שרוצה עוד שתי נקודות לעובר רואה את המרצה, ונע לכיוון המרצה במהירות קבועה .
- המרצה מתחיל בנקודה ונע בכיוון החיובי של ציר y, הסטודנט מתחיל בנקודה עבור .
- באיזה מסלול ינוע הסטודנט? באילו תנאים הוא יתפוס את המרצה?
- נסמן את פונקצית המסלול של הסטודנט ב
- כיוון שהסטודנט תמיד נע בכיוון המרצה, המשיק של הפונקציה בכל נקודה במסלול הסטודנט צריך לפגוש את המרצה באותו הזמן.
- בזמן המרצה נמצא בנקודה והסטודנט נמצא בנקודה .
- השיפוע בין המרצה לסטודנט הוא הנגזרת של פונקצית המסלול, כלומר
- כעת יש לנו שלושה משתנים , כיצד נפטר מאחד מהם? לא השתמשנו במהירות הסטודנט!
- המסלול שהסטודנט עבר צריך להיות שווה ל, כלומר
- מהמשוואה לעיל אנו יודעים כי
- ביחד נקבל כי
- נגזור את שני הצדדים ונקבל כי:
- נסמן ונקבל
- זו מד"ר פרידה
- באמצעות ההצבה האוניברסאלית המתאימה נפתור את האינטגרל של הצד השמאלי ונקבל כי
- ברגע הראשון התקיים כי והתלמיד כיוון לראשית הצירים כלומר כלומר
- לכן
- כעת קצת אלגברה:
- נחבר למשוואה הראשונה
- הרי , ולכן ביחד:
- ולכן אחרי אינטגרציה נקבל כי:
- כאשר אנחנו מקבלים את הקבוע מהנתון
- באופן טבעי, אם מהירות המרצה גדולה ממהירות הסטודנט נקבל שאיפה לאינסוף כאשר והסטודנט לא יגיע למרצה.
- אם הסטודנט יגיע לשדירה ויתפוס את המרצה.
- אם האינטגרציה שלנו שגוייה, וכאשר נחשב אותה נכון שוב נקבל שאיפה לאינסוף (באופן טבעי)
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה .
- מתקיים כי וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה .
- זוהי משוואה פרידה .
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו מחוץ לתחום .
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה .
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה באופן הבא:
- ראשית נסמן .
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה , ונקבל כי .
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה .
- נפריד את המשתנים .
- ולכן .
- נמצא את ונציב בחזרה .
- פונקציה נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל מתקיים כי .
- לדוגמא הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה היא מהצורה לכל אם"ם היא הומוגנית מסדר לכל .
- הוכחה:
- אם אזי לכל מתקיים .
- אם , נציב ונקבל כי .
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה .
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה .
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל .
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי .
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע פונקציה , וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב במשוואה .
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם .
- כלומר .
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו :
- ראשית, נשים לב כי ו.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע , ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה .
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר אנו מתכנסים למהירות הסופית .
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון .
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית .
- ולכן הפתרון הוא .
- וכאשר המהירות שואפת למהירות הסופית .
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה עבור .
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי , ונחלק ב.
- נקבל את המשוואה .
- נציב .
- נגזור .
- נקבל משוואה לינארית .
- נפתור עבור ונציב חזרה לקבל .
- דוגמא - נפתור את המשוואה .
- נציב .
- נקבל ולכן .
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
- ולכן (לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב .
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
- דוגמא - המשוואה הלוגיסטית
- קצב הגדילה של אוכלוסיה פרופורציונלית לגודל האוכלוסיה כפול כמות המשאבים הפנויים.
- המשאבים קטנים באופן פרופורציונלי לגודל האוכלוסיה.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור מתקיים ו
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי (כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם אזי
- בפרט, עבור מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה , עבור דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה , כאשר C קבוע כלשהו.
- תהי מד"ר מהצורה כאשר בעלות נגזרות רציפות. אזי המד"ר מדוייקת אם"ם
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה לפי המשתנה באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון נובע כי ולכן פונקציה קבועה.
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- לכן קיימת דיפרנציאבילית כך ש .
- לכן .
- כיוון שני, נניח כי .
- אנו מחפשים עבורה .
- נעשה אינטגרציה לפי ונקבל כי .
- לכן ברור כי , השאלה היא אם ניתן לבחור עבורו .
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן .
- כיוון ראשון, נניח מדוייקת.
- דוגמא: מצאו משוואה המתארת את הפתרון למד"ר הבאה באופן סתום .
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: .
- נבצע אינטגרציה .
- נגזור לפי y ונקבל כי .
- לכן .
- לכן וסה"כ .
- לכן הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י .
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר , ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה התלוי בx בלבד.
- כלומר מדוייקת.
- לכן .
- כלומר .
- לכן .
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה .
- המשוואה הינה .
- מתקיים כי תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
- .
- כעת .
- .
- לכן ואפשר לבחור .
- סה"כ .
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- דוגמא - המשוואה .
- .
- אכן המשוואה מדוייקת.
- נבדוק: .
- נפתור את המד"ר:
- .
- .
- .
- .
- סה"כ הפתרון למד"ר נתון באופן סתום ע"י .
- אפשר באמצעות השלמה לריבוע לבודד את y.
הרצאה 4 משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר המקיימת
המשוואה האינטגרלית
- בעיית הקושי עם שקולה למשוואה .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
- אזי .
- לכן .
- ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי .
- בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
- נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
- נציב במשוואה האינטגרלית את ונקבל .
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את קיום הפתרון במשפט הקיום והיחידות.
- נבנה נוסחת נסיגה מהמשוואה האינטגרלית, ואז אם הסדרה תתכנס (במ"ש) נקבל את המשוואה האינטגרלית:
- נגדיר , ולכל נגדיר .
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית) .
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה נקבל בדיוק את הפתרון .
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי רציפה ובעלת נגזרת רציפה במלבן הסגור .
- נביט בבעיית הקושי , עם תנאי ההתחלה
- נבחר חסם כך ש במלבן הנתון, ונסמן .
- אזי קיים פתרון יחיד לבעיית הקושי בתחום .
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים ().
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
הוכחת הקיום
- נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון לבעיית הקושי.
- הערה: נוכיח עבור ההוכחות עבור דומות.
- ראשית, נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של .
- כלומר, עלינו להוכיח כי לכל המקיים מתקיים כי .
- הפונקציה הראשונה כמובן בתוך המלבן.
- כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי .
- שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום שנמצא בתחום התחום .
- לכן .
- כעת, נשים לב לתכונה הבאה:
- כיוון ש רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
- לפי משפט לגראנז' נקבל כי
- כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
- ראשית, נשים לב כי .
- לכן עלינו להוכיח כי הטור מתכנס במ"ש (כי הסס"ח שלו היא פחות קבוע).
- ראשית,
- כעת
- נמשיך כך ונקבל כי
- זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, וכן לפי מבחן הM של קושי הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
- הערה: כיוון ש אזי גם הסדרה מתכנסת במ"ש באופן דומה.
- נוכיח שפונקצית הגבול היא פתרון של בעיית הקושי.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף .
- נקבל כי .
- הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
הוכחת היחידות
- טענת עזר - תהי חסומה כך שלכל בקטע מתקיים כי אזי לכל בקטע.
- .
- .
- .
- נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי .
- לכן .
- לכן .
- יהיו שני פתרונות לבעיית הקושי, נוכיח כי :
- .
- לכן לפי טענת העזר, .
הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- נחקור כעת משוואות מהצורה
- דוגמא:
- נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
- נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
- הכוח הפועל על המסה הוא .
- לכן לפי החוק השני של ניוטון .
- דוגמא:
- נביט בסירה במים המחוברת בקפיץ למזח.
- מלבד הכוח שהקפיץ מפעיל, המים מתנגדים לסירה באופן פרופורציוני למהירות שלה.
- היחס בין קבוע הקפיץ לקבוע התנגדות המים ישפיע על התנועה - האם הסירה תתקדם בכיוון אחד, או תעשה תנועה מחזורית (בכל מקרה היא תאט).
- דוגמא:
- מסה מחוברת לקפיץ עם חיכוך
- דוגמא:
- מסה תלוייה על קפיץ במאונך עם או בלי התנגדות אוויר ועם השפעת כוח המשיכה (לא הומוגני)
הורדת סדר המשוואה
מד"ר מסדר גבוה ללא y
- אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה .
- דוגמא:
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני .
- נביט בפונקצית המהירות ונקבל את המשוואה מסדר ראשון.
הורדת סדר למד"ר מסדר שני ללא x
- תהי מד"ר מהצורה .
- ראשית נחפש פונקציה המקיימת את המד"ר מסדר ראשון
- נהוג לרשום את שם המשתנה כאן y ולא t, אך אני לא עושה את זה כעת על מנת למנוע בלבול מיותר.
- כעת נחפש פונקציה y המקיימת את המד"ר עבור p שמצאנו
- פונקציה כזו תקיים כי
- כלומר היא מהווה פתרון למד"ר.
דוגמא - משוואות הקפיץ
- נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
- נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה .
- אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה .
- זו משוואה פרידה ולכן .
- לכן .
- לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה .
- .
- .
- .
- שימו לב שהביטוי מייצג קבוע חיובי כלשהו.
- שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
- שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.
דוגמא - מהירות מילוט
- גוף בעל מסה נזרק מכדור הארץ כלפי מעלה במהירות , נסמן את מרחק הגוף ממרכז כדור הארץ ב.
- מצאו את פונקצית מהירות הגוף ביחס לגובה שלו .
- מהי מהירות המילוט של הגוף? כלומר עבור איזו מהירות התחלתית מתקיים כי כאשר ?
- נסמן את מסת כדור הארץ ב, את רדיוס כדור הארץ ב, את קבוע הכבידה האוניברסאלי ב ואת תאוצת הנפילה בכדור הארץ ב
- ראשית נשים לב כי כוח המשיכה של כדור הארץ המופעל על מסה הוא בקירוב כלומר ולכן
- המשוואה המתארת את תנועת הגוף היא:
- כלומר
- זו משוואה מסדר שני שחסר בה המשתנה
- נחפש עבורה ולכן
- נעשה אינטגרציה למד"ר הפרידה שקיבלנו ונקבל
- לכן
- כיוון שהמהירות ההתחלתית היא חיובית נקבל כי
- על מנת למצוא את הקבוע, נציב את תנאי ההתחלה:
- הגובה הראשוני הוא ובו המהירות היא
- הערה: ניתן לפתור את המד"ר הזו על מנת למצוא את הגובה כפונקציה של הזמן, אך לא התבקשנו לעשות כן.
- סה"כ נקבל כי
- מהירות המילוט היא המהירות ההתחלתית הנמוכה ביותר המבטיחה כי הגוף לא יגיע למהירות אפס.
- לכן מהירות המילוט מקיימת כי ולכן
- לכל מהירות נמוכה יותר הביטוי בתוך השורש מתחיל מ ושואף למספר שלילי (בהנחת השלילה ש ), ולכן יגיע לאפס. במהירות אפס החפץ לא ימשיך לנוע.
- לכל מהירות התחלתית גבוהה יותר, המהירות גדולה יותר מערך חיובי קבוע, ולכן .
- אם המהירות ההתחלתית היא בדיוק מהירות המילוט, ניתן לפתור את המד"ר בקלות ולראות כי .
מד"ר לינארית
- מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה .
- אם אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
- בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה
- משפט קיום ויחידות: אם רציפות בקטע ויהי , אזי קיים פתרון יחיד בקטע לבעיית הקושי.
- נגדיר את אופרטור הגזירה על מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים.
- גם הוא אופרטור לינארי
- לכן ניתן לכתוב מד"ר לינארית כ כאשר אופרטור לינארי.
מד"ר לינארית הומוגנית
- אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
- זה הרי הגרעין של האופרטור המתואר לעיל
- תזכורת: נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש (הצירוף הוא פונקצית האפס).
- הגדרה: הוורונסיקאן של הפונקציות הוא הדטרמיננטה
- אם ת"ל אזי .
- נתון כי
- נגזור
- נמשיך ולגזור ונקבל שלכל מתקיים כי .
- לכן
- כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.
- אם עבור כלשהו עבור פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים רציפים בקטע , אזי הפתרונות ת"ל ו.
- כיוון ש קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל מתקיים כי .
- נביט בפונקציה , לפי לינאריות גם פתרון של המד"ר.
- כיוון שלכל מתקיים כי ולפי יחידות הפתרון, נובע כי (הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).
- הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל .
- דוגמא:
- נביט בוורונסקיאן של .
- זו מטריצת ונדרמונד ולכן
- לכן הפונקציות בת"ל אם ורק אם כל הקבועים שונים זה מזה
- הוכחה לחישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונד:
- נבצע את פעולות השורהעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): R_n-\lambda_1 R_{n-1}\\R_{n-1}-\lambda_1 R_{n-2}\\\vdots\\R_2-\lambda_1 R_1
- כאשר המעבר הוא חישוב דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה
- ומכאן סיימנו באינדוקציה
- מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
- לכל נגדיר את להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה ואם אז .
- נוכיח שn פתרונות אלה מהווים בסיס.
- ולכן הפתרונות בת"ל.
- עבור תנאי ההתחלה פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא , ולכן הקבוצה פורשת.
- דוגמא: משוואת המסה על קפיץ
- נביט בפתרונות , הן אכן פותרות את המשוואה.
- נביט בוורונסקיאן
- לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה
מד"ר לינארית לא הומוגנית
- פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
- הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.
- דוגמא: מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה .
- נציב ונקבל .
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא .
- דוגמא: מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה .
- .
- .
- משוואה זו תתקיים עבור .
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא .
הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
ראשית נציג גישה אחת לנושא, ומאוחר יותר נציג גרסא מעודכנת (2022) המבוססות יותר על אופרטורים.
פולינום אופייני
- נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים כאשר .
- דוגמאות:
- משוואת הקפיץ .
- .
- ננחש פתרון למד"ר מהצורה .
- נציב במד"ר ונקבל .
- לכן .
- נגדיר את הפולינום האופייני של המד"ר להיות .
- לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.
- דוגמא:
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם .
- לכן שני פתרונות למד"ר הם .
- ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא .
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
- מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא .
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא .
- כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
- ראשית, אם שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
- נזכר גם כי
- כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים לכן הן פתרונות.
- לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
- עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
- דוגמא משוואת הקפיץ .
- הפולינום האופייני הינו .
- שורשי הפולינום האופייני הינם .
- הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם .
- כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
- ראשית, נביט באופרטור הלינארי ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב את אופרטור הזהות.
- למשל המד"ר ניתנת להצגה כ.
- לכן .
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא ולכן הוא פתרון.
- כעת, נראה כי גם הוא פתרון של המד"ר.
- באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא אזי לכל הביטוי הוא פתרון.
סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים
- מוצאים את הפולינום האופייני, ואת כל השורשים שלו (כולל המרוכבים).
- לכל שורש ממשי מריבוי מתאימים הפתרונות .
- לכל שורש מרוכב מריבוי (ידוע שגם הצמוד שלו שורש מאותו ריבוי) מתאימים הפתרונות
- סה"כ מצאנו למד"ר מסדר n בדיוק n פתרונות.
- הפתרונות הללו בת"ל ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי שלהם.
- נוכיח שהפתרונות בת"ל (מעל המרוכבים).
- .
- נניח ש, נחלק ב.
- נציב ונשאיף את .
- נקבל כי הפולינום המקדם של האקספוננט הגדול ביותר חייב להיות אפס.
- לכן באינדוקציה כל הפולינומים חייבים להיות אפס, ולכן כל אחד מהקבועים חייב להיות אפס.
- כיוון שהפתרונות בת"ל מעל המרוכבים, אפשר ליצור איתם כל תנאי התחלה, ולקבל פונקציות ממשיות שפותרות אותו.
- דוגמא: מצאו את הפתרון הכללי של המד"ר .
- ראשית, נמצא את הפולינום האופייני .
- ננחש ש2 הוא שורש, נבצע חילוק, ננחש שוב את 2 כשורש ונקבל כי .
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם 2 מריבוי 2, ו מריבוי 1.
- לכן הפתרון הכללי הוא .
- דוגמא: מצאו את הפתרון של המד"ר המקיים .
- הפולינום האופייני הוא .
- הפתרון הכללי הוא .
- כעת נמצא את הקבועים:
- .
- .
- ולכן .
- סה"כ הפתרון הוא .
גישה מבוססת אופרטורים
- נציג את המד"ר הלינארית עם מקדמים קבועים באמצעות אופרטור הגזירה:
- נגדיר את הפולינום האופייני
- סה"כ האופרטור של המד"ר הוא
- נפרק את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים מעל המרוכבים
- ונקבל כי
- שימו לב כי מותר לפתוח סוגריים באופן טבעי ואפשר להחליף בין סדר הגורמים כיוון ש אופרטורים מתחלפים.
- כיוון שמותר להחליף את סדר הגורמים נובע כי אם שורש של הפולינום האופייני מריבוי אזי
בטקסט לעיל, למדנו איך למצוא בסיס לגרעין הזה.
הרצאה 7 מציאת פתרון פרטי למד"ר לינארית לא הומוגנית
- כבר ראינו שעל מנת למצוא פתרון כללי למד"ר לינארית לא הומוגנית, עלינו למצוא פתרון כללי למד"ר ההומוגנית (למדנו כיצד בהרצאה קודמת), ופתרון פרטי כלשהו למד"ר הלא הומוגנית.
- נלמד כיצד למצוא פתרון פרטי.
שיטת הניחוש עבור מד"ר עם מקדמים קבועים
- תהי מד"ר מהצורה .
- אם פולינום מדרגה m:
- אינו שורש של הפולינום האופייני, ננחש פולינום מדרגה m.
- אם שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש .
- אם :
- אם אינו שורש של הפולינום האופייני ננחש .
- אם שורש של הפולינום האופייני מריבוי k ננחש .
- אם או :
- אם אינם שורשים של הפולינום האופייני ננחש (כאשר פולינומים מסדר m).
- אם שורשים של הפולינום האופייני מריבוי k כל אחד, ננחש .
- דוגמאות:
- עבור הפולינום האופייני הוא ננחש את הפתרון .
- עבור כעת אינו שורש של הפולינום האופייני, ולכן ננחש . (שימו לב שהפולינום הוא בעצם מדרגה 0.)
- עבור כעת הוא שורש מריבוי 2 ולכן ננחש את הפתרון .
- עבור הפולינום האופייני הוא השורש מופיע מריבוי 1 ולכן ננחש .
- לאחר הניחוש, נמצא את הקבועים ע"י הצבה. נחשב עבור הדוגמא הראשונה:
- המד"ר , הניחוש .
- .
- .
- נציב .
- נבצע השוואת מקדמים:
- .
- .
- .
- לכן הפתרון הפרטי הוא .
- סה"כ הפתרון הכללי הוא .
- המד"ר , הניחוש .
וריאצית מקדמים יחד עם שיטת קרמר למד"ר לינארית
- תהי מד"ר לינארית (לאו דווקא עם מקדמים קבועים) מהצורה .
- יהיו פתרונות בת"ל למד"ר ההומוגנית.
- ננחש כי קיים פתרון פרטי מהצורה .
- טענה - עבור פונקציות המקיימות את מערכת המשוואות
מתקיים כי הוא פתרון פרטי של המד"ר.
- הוכחה:
- . (לפי המשוואה הראשונה.)
- באופן דומה . (לפי המשוואה השנייה.)
- נמשיך כך עד שנקבל
- כעת נגזור ונקבל , לפי המשוואה האחרונה.
- נציב במד"ר המקורית:
- כיוון ש פתרונות למד"ר ההומוגנית הביטויים בסוגריים מתאפסים וסה"כ קיבלנו כי אכן .
- נכתוב שוב את ההוכחה, בעזרת סימן הסכימה (עשוי להיות נוח יותר או פחות):
- ראשית, ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל מתקיים כי
- כעת בעזרת המשוואה האחרונה נקבל כי
- נציב במד"ר ונקבל
- כלומר, על מנת למצוא פתרון פרטי, עלינו למצוא פתרון למערכת המשוואות הבאה:
- אבל דטרמיננטת מטריצת המקדמים היא בדיוק הוורונסקיאן!
- כיוון ש בסיס למרחב הפתרונות, מטריצת המקדמים הפיכה לכל ולכן קיים פתרון (יחיד) למערכת.
- כיצד נמצא את הפתרון? שיטת קרמר.
- לאחר שנמצא את הערכים של נבצע אינטגרציה ונמצא סה"כ את הפתרון הפרטי.
- דוגמא - מצאו פתרון כללי למד"ר .
- פתרון כללי למד"ר ההומוגנית הוא .
- כעת עלינו למצא פתרון פרטי .
- עלינו למצוא פתרון למערכת
- לכן לפי שיטת קרמר
- לכן
- סה"כ הפתרון הפרטי הוא .
- דוגמא:
- שימו לב שיכלנו לפתור את השאלה הקודמת בדרך אחרת, קצרה יותר, עם טריק.
- מתקיים כי .
- נמצא פתרון פרטי למד"ר בשיטת הניחוש.
- נמצא פתרון פרטי למד"ר בשיטת הניחוש.
- לכן הוא פתרון פרטי למד"ר מתוך לינאריות.
הרצאה 8 פתרון מד"ר באמצעות טורי טיילור
שימוש בטורי טיילור
- ננחש שהפתרון הוא טור חזקות, ואם אכן יש פתרון כזה, נמצא את המקדמים.
- גם אם לא נוכל למצוא נוסחא פשוטה לפונקציה, עדיין טור החזקות יכול לתת קירוב שלה.
- דוגמא: הזזת אינדקס של טור טיילור.
- הזיזו את האינדקס של הטור כך שהחזקה תהיה .
- אנחנו רוצים להציב ולכן .
- כיוון ש מתחיל מ4, נובע ש יתחיל מ2.
- סה"כ נקבל כי .
- דוגמא מצאו את הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית .
- עבור מדובר במד"ר לינארית הומוגנית בעלת שני פתרונות בת"ל.
- ננחש כי קיים פתרון בצורת טור טיילור .
- שימו לב שאנו מניחים שהפונקציה מוגדרת באפס, ייתכן שנרצה לפתח טור טיילור סביב נקודות אחרות באופן כללי.
- נציב במשוואה ונקבל:
- לכן:
- לכל מתקיים .
- עבור מקבלים .
- עבור נחלק ב ונקבל .
- לכל מתקיים .
- סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
- וכן הלאה.
- נשים לב כי באופן כללי חופשיים.
- עבור הבחירה נקבל את הפתרון .
- עבור הבחירה נקבל את הפתרון .
- נבדוק שהפתרונות בת"ל:
- לכל הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
- שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור .
- אכן ב משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים .
- סה"כ הפתרון הכללי הינו
מציאת פתרון פרטי
- דוגמא - מצאו את הפתרון הכללי למד"ר .
- ראשית נעביר את המד"ר לצורה סטנדרטית
- נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על הפתרון למד"ר ההומוגנית יחד עם כלל קרמר.
- נחפש פתרון מהצורה .
- כעת
- לכן .
- כמו כן,
- לכן .
- סה"כ הפתרון הפרטי הינו
- לכן הפתרון הכללי הינו
הרצאה 9 מערכות מד"ר
מערכת מד"ר לינארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים
- לעיתים יש לנו מד"ר העוסקות במספר פונקציות שונות.
- נניח שיש לנו סיר מים מתבשל על הגז.
- A היא מסת המים בסיר, וB היא מסת המים שהתאדו אל המכסה.
- נניח שקצב התאדות המים מהסיר אל המכסה הוא וקצב התעבות המים מהמכסה בחזרה לסיר הוא .
- לכן
- נסמן את שתי הפונקציות ב ונניח כי .
- נקבל את המערכת כלומר
- נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
- במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
- עבור ו"ע מתקיים כי .
- כיוון שהוקטור הוא וקטור קבועים, .
- כלומר, הוא פתרון למערכת.
- בחזרה לדוגמא:
- הע"ע של הם .
- הו"ע המתאימים הם
- הפתרון הכללי הוא
- כלומר ו
- שימו לב שככל שעובר הזמן היחס בין המים בסיר למים על המכסה שואף להיות קבוע.
- שימו לב ש, זה הגיוני כיוון שמסת המים אינה משתנה בתהליך.
שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני
- נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
- נניח כי מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
- נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
- נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
- לכן מתקבלת מערכת המד"ר
- שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי)
- נסמן , ולכן .
- הע"ע של A הינם .
- עבור הו"ע המתאים לע"ע מתקיים כי .
- לכן אם נבחר כך ש, ונבחר אזי נקבל .
- כלומר הוא פתרון למערכת.
- עבור הו"ע המתאים לע"ע מתקיים כי .
- לכן אם נבחר כך ש ונבחר אזי נקבל .
- לכן הוא פתרון למשוואה.
- ביחד קיבלנו פתרון כללי
- תנאי ההתחלה הם המיקומים והמהירויות של כל אחת מהמסות.
קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר מסדר ראשון
- נביט במד"ר .
- נסמן .
- לכן המד"ר שקולה למערכת מסדר ראשון .
- בפרט, המד"ר הלינארית שקולה למערכת
- בכתיב מטריצות קיבלנו את המערכת כאשר:
- הפולינום האופייני של הוא:
- ניתן להוכיח באינדוקציה כי , בדיוק הפולינום האופייני של המד"ר המקורית, לא במפתיע.
הרצאה 10 התמרת לפלס
- התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
- עבור הפונקציה המוגדרת בקטע נגדיר את התמרת הלפלס .
- שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
- אם מתקיים כי אזי ההתמרה מתכנסת לכל .
- הביטוי האחרון מתכנס לכל .
- נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.
- דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה .
- בויקיפדיה ניתן למצוא טבלה של התמרות לפלס שימושיות.
- שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.
- הפונקציה מאפסת את ציר הx בקטע .
תכונות התמרת לפלס
- יחידות:
- אם רציפות, ו אזי .
- הוכחה
- לינאריות:
- התמרת הנגזרת הראשונה:
- התמרת נגזרת כללית:
- הזזה של המשתנה s:
- אם אזי
- הזזה של המשתנה t:
- אם אזי
- תכונות נוספות:
- אם אזי
- אם אזי
- אם אזי
- נוכיח חלק מהתכונות לעיל כעת ובהרצאה הבאה.
- נוכיח עבור y החסומה ע"י אקספוננט כי
- נבצע אינטגרציה בחלקים
- כעת .
- וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.
דוגמאות
- דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
- נציב בנוסחא את
- סה"כ נקבל כי
- דוגמא - נמצא פתרון למד"ר .
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן
- דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
- נסמן ,
- נציב בנוסחא :
- נציב ונקבל כלומר
- נציב ונקבל כלומר
- נקבל סה"כ כי
הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס
- נוכיח כי
- נפתור את המד"ר עם תנאי ההתחלה .
- שימו לב שכבר למדנו איך לפתור מד"ר זו - למצוא פתרון כללי ולהציב תנאי ההתחלה.
- התמרת לפלס עשוייה לחסוך לנו קצת זמן.
- נבצע התמרת לפלס:
- ידוע ש הינה ההתמרה של .
- לכן הינה ההתמרה של , וזהו פתרון המד"ר.
- נוכיח כי אם אזי
- .
- נגזור את שני הצדדים לפי ונקבל כי
- את העובדה שגזרנו בתוך האינטגרל לא נצדיק כאן, היא נכונה עבור פונקציות שחסומות על ידי אקספוננט.
- לכן,
- כמו כן,
- דוגמא - נחשב את .
- ידוע כי
- לכן
- לכן
- לכן
- ובאופן כללי
דוגמא
- נפתור את המד"ר .
- נבצע התמרת לפלס:
- לכן קבלנו את המשוואה
- קיבלנו מד"ר לינארית.
- לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את
- נסמן , ו
- לכן .
- כמו כן
- סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא
- נחזור לסימון התמרת הלפלס:
- נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
דוגמא
- נמצא פתרון למד"ר המקיים .
- נבצע התמרת לפלס .
- לכן
- לכן
- לכן
- לכן
- הערות:
- הפונקציה שקיבלנו רציפה אם נגדיר אותה ב0 להיות 1, ואכן מקיימת את תנאי ההתחלה.
- מצאנו רק פתרון אחד, כיוון שלפתרון השני אין התמרת לפלס (האינטגרל לא מתכנס באיזור 0).
הרצאה 12 - הדלתא של דירק
הדלתא של דירק
- נתחיל ונאמר כי ישנן מספר גישות אל הדלתא של דירק, אנחנו נציג גישה אחת שרלוונטית אלינו.
- הדלתא של דירק אינה פונקציה, אלא מייצגת תהליך.
- למרות האמור, אנחנו נתייחס לתוצאה הסופית של התהליך, כאילו היה מדובר בפונקציה ממש.
- מטרה עיקרית: 'פונקצית הדלתא' מקיימת את התכונה לכל פונקציה הרציפה ב.
- כמו כן, לכל פונקציה הרציפה בa.
- בצורה מדוייקת יותר, נביט בסדרת הפונקציות
- כאשר לכל מתקיים כי ועבור מקבלים כי .
- לכל מתקיים כי .
- עקרונית הסדרה מייצגת פונקציות בעלות שטח אחד, ההולך ומתרכז בנקודה אפס.
- עבור הרציפה בסביבה של מתקיים כי:
- לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי
- נגדיר את
- נשים לב כי לפי גישה זו ו.
- נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
- לכל מתקיים
- בפרט
תגובת הלם
- נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.
- נניח שברגע מישהו נתן 'פליק' למסה.
- הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.
- כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא , בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.
- למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר
- באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות .
- על מנת שיהיה פתרון למד"ר עלינו לבחור הפעם סדרה של פונקציות גזירות ב כמו
- נוכיח כעת את הנוסחא עבור :
- נבצע את ההצבה ונקבל:
- .
- נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:
- .
- כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, .
- לכן .
- ולכן .
- (הרי ).
- אכן, עד רגע המערכת במנוחה .
- לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים .
- כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.
- נפתור את המערכת עם תנאי ההתחלה .
- נפעיל התמרת לפלס
- לכן
- לכן
- לכן
- כלומר בזמן ההלם עוצר את התנועה במערכת, והפתרון מתאפס.
- דוגמא - נפתור את המד"ר עבור תנאי ההתחלה .
- נבצע התמרת לפלס ונקבל כי .
- לכן
- ראשית נמצא את ההתמרה ההפוכה :
- לכן
- ולכן סה"כ הפתרון למד"ר הינו
הרצאה 13 - משוואת אוילר
- משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
- נסמן את פונקצית האקפוננט
- נפתור את המד"ר ל
- נגדיר כלומר .
- נקבל כי
- באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי עבור קבועים כלשהם.
- נסמן את האופרטור המתאים למד"ר:
- לכן
- לפי הפיתוח לעיל, זה שווה ל עבור קבועים כלשהם.
- נסמן את האופרטור המתאים למד"ר זו ב
- סה"כ הוכחנו כי
- את הגרעין של אנחנו יודעים למצוא כיוון שזו מד"ר לינארית הומוגנית עם מקדמים קבועים.
- אם פתרון למד"ר המתאים ל אז עבור מתקיים כי
- לכן ולכן בחיוביים, שהרי זו התמונה של .
- אבל איך נמצא את הפתרונות ל? צריך למצוא את הפולינום האופייני.
- עבור נקבל כי
- אם נחלק ב נקבל את הפולינום האופייני של המד"ר , זו נקראת המשוואה האינדנציאלית של משוואת האוילר המקורית.
- במילים פשוטות, על מנת לחשב את המשוואה האינדנציאלית:
- נציב במשוואת האוילר
- נציב ונחלק ב (או בעצם נחלק מראש ב שזה שקול)
- השורשים של המשוואה האינדנציאלית נותנים לנו את הפתרונות לגרעין של , נרכיב אותם על ונקבל את הפתרונות למשוואת האוילר.
- סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:
- פתרון של המד"ר לכל .
- ולכן פתרון של משוואת אוילר המקורית, לכל .
- אם זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:
- פתרונות של המד"ר , לכל .
- לכן פתרונות של משוואת אוילר המקורית, לכל .
- דוגמא:
- נציב ונקבל את המשוואה האינדנציאלית .
- לכן .
- כלומר .
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- נעביר לצורה של משוואת אוילר .
- המשוואה האינדנציאלית היא .
- כלומר .
- לכן הפתרון הכללי הינו
- דוגמא:
- מצאו פתרון כלשהו למד"ר
- ראשית נמצא את הפתרונות למד"ר ההומוגנית, שהיא משוואת אוילר.
- לאחר מכן נמצא פתרון פרטי באמצעות וריאצית המקדמים.