שינויים
/* שאלה 6 */
==שאלה 6==
תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש <math>f(0)=f'(0)=...=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math>. עוד נניח שלכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f'(x)\neq 0</math>. הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math>
===הוכחה===
מכיוון שהפונקציה ו4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה אפס שווה זהותית לאפס. השארית היא מהצורה
<math>\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math>.
מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.
נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. מכיוון שf חיובית בסביבת אפס ושווה ממש לאפס באפס לפי משפט לגרנז' הנגזרת הראשונה חיובית באיזו נקודה מימין לאפס. אם היא הייתה גם שלילית באיזו נקודה מימין לאפס, אזי היא הייתה מתאפסת בין לבין לפי משפט רול, בסתירה לנתון. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>f'(x)>0</math> ולכן הפונקציה מונוטונית עולה, ולכן חיובית לכל <math>x>0</math> כפי שרצינו.
