משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ 0=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_k=k/n }[/math]

מעל כל תת קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math]

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו [math]\displaystyle{ \left(k\over n\right)^2=x_k^2 }[/math]. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם [math]\displaystyle{ \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כמו כן, מעל כל קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] נבנה "מלבן חסום" שגובהו [math]\displaystyle{ \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2 }[/math] ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום [math]\displaystyle{ \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-[math]\displaystyle{ \underline S\le A\le\bar S }[/math].

(2)

ז"א [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]. הדבר נכון לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לכן נוכל להשאיף [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \frac13\le A\le\frac13 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A=\frac13 }[/math]

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-f ב-I אם [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ F'(x)=f(x) }[/math].

דוגמה: ...

משפט 0: אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G(x) }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math]

הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ H(x)=F(x)-G(x) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ H'(x)=F'(x)-G'(x) }[/math]

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' [math]\displaystyle{ F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

---

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] מוגדרת ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x)=A'(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].

2) אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a) }[/math].

---

הוכחה: (א) (3) רואים [math]\displaystyle{ A(a)=0 }[/math] המטרה [math]\displaystyle{ A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt }[/math].

[math]\displaystyle{ A(x) }[/math] עולה

כעת לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math]

בציור [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x}-A(x) }[/math] = השטח הארובה [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] = בסיס הארובה לכן [math]\displaystyle{ \frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math] = הגובה הממוצע של הארובה.

כאשר [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math] זה שואף ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שהיא [math]\displaystyle{ A(x) }[/math].

(ב) נתונה פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] אבל מחלק א ידוע שגם [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=A(x)+c }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx }[/math]

הגישה של דרבו

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה [math]\displaystyle{ m\le F(x)\le M }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר את התנודה של f ע"י [math]\displaystyle{ \Omega=M-m }[/math]. כעת נגדיר חלוקה P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]