משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ 0=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_k=k/n }[/math]

מעל כל תת קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math]

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו [math]\displaystyle{ \left(k\over n\right)^2=x_k^2 }[/math]. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם [math]\displaystyle{ \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כמו כן, מעל כל קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] נבנה "מלבן חסום" שגובהו [math]\displaystyle{ \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2 }[/math] ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום [math]\displaystyle{ \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-[math]\displaystyle{ \underline S\le A\le\bar S }[/math].

(2)

ז"א [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]. הדבר נכון לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לכן נוכל להשאיף [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ \frac13\le A\le\frac13 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A=\frac13 }[/math]

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-f ב-I אם [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ F'(x)=f(x) }[/math].

דוגמה: ...

משפט 0: אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G(x) }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math]

הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ H(x)=F(x)-G(x) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ H'(x)=F'(x)-G'(x) }[/math]

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' [math]\displaystyle{ F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

---

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] מוגדרת ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x)=A'(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].

2) אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a) }[/math].

---

הוכחה: (א) (3) רואים [math]\displaystyle{ A(a)=0 }[/math] המטרה [math]\displaystyle{ A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt }[/math].

[math]\displaystyle{ A(x) }[/math] עולה

כעת לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math]

בציור [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x}-A(x) }[/math] = השטח הארובה [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] = בסיס הארובה לכן [math]\displaystyle{ \frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math] = הגובה הממוצע של הארובה.

כאשר [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math] זה שואף ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שהיא [math]\displaystyle{ A(x) }[/math].

(ב) נתונה פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] אבל מחלק א ידוע שגם [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=A(x)+c }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx }[/math]

הגישה של דרבו

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה [math]\displaystyle{ m\le F(x)\le M }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר את התנודה של f ע"י [math]\displaystyle{ \Omega=M-m }[/math]. כעת נגדיר חלוקה P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]

עוד נגדיר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] אורך תת קטע מספר k = [math]\displaystyle{ \Delta x_k=x_k-x_{k-1} }[/math]

והפרמטר של P, [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] מוגדר ע"י [math]\displaystyle{ \lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k }[/math]

לכל k, [math]\displaystyle{ 1\le k\le n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math].

(4)

בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון [math]\displaystyle{ \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k }[/math] ושטח חסום תחתון [math]\displaystyle{ \underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k }[/math]

משפט 1: עבור כל חלוקה P

[math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\bar S(f,P)\le M(b-a) }[/math]

הוכחה: [math]\displaystyle{ m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k }[/math] (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)

[math]\displaystyle{ =\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k }[/math] (כי לכל k מתקיים [math]\displaystyle{ m\le m_k }[/math])

[math]\displaystyle{ =\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a) }[/math]

לפי משפט 1 המספרים [math]\displaystyle{ \bar S(f,P),\underline S(f,P) }[/math] חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" [math]\displaystyle{ \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P) }[/math] ו"האינטגרל התחתון" [math]\displaystyle{ \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P) }[/math].

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם [math]\displaystyle{ \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx }[/math] ואם הם שווים אז נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)dx }[/math] להיות הערך המשותף של [math]\displaystyle{ \underline\int f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \bar\int f }[/math].

---

דוגמהף בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases} }[/math]. נקח חלוקה כלשהי ל-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] לכל k

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a }[/math]

ואילו [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0 }[/math].

מכאן [math]\displaystyle{ \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a }[/math]. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. חלוקה Q של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. תהי P חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

[math]\displaystyle{ 0\le\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\} }[/math])

ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-[math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math]

הוכחה: מקרה ראשון: [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת [math]\displaystyle{ x_i' }[/math]. כך ש-[math]\displaystyle{ x_{i-1}\lt x_i'\lt x_i }[/math]. בהתאם לכך נגדיר [math]\displaystyle{ M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\} }[/math] כעת בכל תת קטע [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ k\not=i }[/math]. לא שינינו כלום. לכן [math]\displaystyle{ \bar S(f,P)-\bar S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}{(1)}-\underbraces{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}{(2)} }[/math]

1. תרומת קטע i ל-[math]\displaystyle{ \bar S(f,P) }[/math]
2. תרומת קטע i ל-[math]\displaystyle{ \bar S(f,Q) }[/math]

לפי עצם ההגדרות [math]\displaystyle{ M_i\ge M_i' }[/math] ו-[math]\displaystyle{ M_i\ge M_i'' }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0 }[/math]