שינויים

=אינטגרבליות=

תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. כמו כן, לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן ו-<math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא <math>\overline I=\underline I</math>ערך זה.

הוכח ע"פ הגרדת הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>gf(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

'''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0(דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>\Delta x\le=\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>. , ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.

 (נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון) באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון(עם נקודות קצה שמאליות):{{left|<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=10}^{n -1} \frac i n</math> ...}}

עבור <math>\overline I</math> נרשוםנחשב:{{left|<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math>...

באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=10}^{n -1} i=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>}}

'''מסכנה:''' לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת{{משל}}

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף '''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו צריכים יכולים להראות שלכל שכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0\implies</math> מתקיים <math>\overline .I=\underline I</math>.

'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד נקודת קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

'''====פתרון:''' ====''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

'''פתרון:''' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה <math>f(x)=\begin==דוגמה 3===הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{cases!}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end}f{{cases!}}}} אינטגרבילית ב-</math>. ברור כי [a,b]</math>|אז f|אינטגרבילית ב-</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת[a, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיוביb]</math>.

====פתרון===='''הערההפרכה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה שואפת לאפסשל מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית.{{משל}}

'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותרזוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>.

'''דוגמה 4הערה:''' הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,d]\subseteq[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

'''הוכחה===דוגמה 4===הוכח או הפרך:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> המקיימת אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ש-ולכל <math>[c,b]\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilonsubset[a,b]</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,db]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})אז f אינטגרבילית ב-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{[a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_bb]</math>.

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. ====פתרון===='''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)=-\sup_{xunderline S(T_\invarepsilon)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[a,c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'} f(x)</math> שם מתקיים <math>\cdot overline S(c-aT_{\varepsilon'})+-\overline underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math> ובאופן דומה: . נשים לב כי <math>T_{\underline S(varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon)</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=\inf_{xc,x_1,x_2,\in[adots,c]\underbrace{x_n} f(x)_b\cdot (c}</math> ו-<math>T_\varepsilon=\{a)+,c,x_1,x_2,\underline S(T_dots,\underbrace{x_n}_b\varepsilon'})</math>.

...נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:{{left|<math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> <math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>}}לכן:{|{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) |r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) |c=מתקיים <math>M=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m=\inf_{x\in[a,c]}</math>, לפיכך:}}{{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})}}{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 |o=\le |c=נבחר c כך ש-<math>c-a=\frac\varepsilon{2(M-m)}</math>:}}{{=|r=\varepsilon}}|}

'''===דוגמה 5:''' ===חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnnfrac{n-1}n}+e\right)</math>

'''====פתרון:''' ====נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי , וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן . לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>).{{משל}}

# '''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע תהיה אינטגרבילית ב-<math>\left[0a,\frac\pi2\rightb]</math>:# '''פתרון:''' נראה כי f לא חסומה. <math>\lim_{k\to\frac\pi2^הוא ש-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרביליתבקטע. {{משל}}

#'''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ===דוגמה 6===קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:<ol><li><math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.====פתרון===='''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}</li><li><math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad &x\ne0\\0\quad &x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.:# ====פתרון===='''פתרוןכן אינטגרבילית:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}</li></ol>