הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11"
מ (←הוכחה) |
מ (←הוכחה) |
||
שורה 38: | שורה 38: | ||
נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>: | נוכיח לפונקציה עולה. לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(a)\le f(x)\le f(b)</math> ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של <math>[a,b]</math>: | ||
− | <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה | + | <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\Delta x_k</math>. |
− | <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>. | + | |
כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל | כעת, אם נבחר לכל k, <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל | ||
− | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}} | + | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}} |
נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
גרסה מ־16:27, 24 בפברואר 2011
את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף זה.
תוכן עניינים
משפט 3
תהי f כנ"ל. אזי וכן
.
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים
כך שאם
אז
. ברור כי אכן מתקיים
. כעת יהי
נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של
כך ש-
ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של
כך ש-
, ונגדיר
. כיוון ש-R עידון של Q,
ונובע ש-
. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-
. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם
ואם כן
.
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3,
. ע"פ אריתמטיקה של גבולות
וכן
.
עכשיו נניח ש-. אם כן אז ממשפט דרבו
. ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל
קיימת חלוקה P של
כך ש-
.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור
קיים
כך שלכל P המקיימת
מתקיים
.
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך ש-
מתקיים
. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים
. לפי הנתון נקבל
. זה נכון לכל
ולכן
, כלומר f אינטגרבילית ב-
.
משפט 6
תהי רציפה וחסומה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
כעת יהי . כיוון ש-
רציפה בקטע סגור
היא רציפה במ"ש, לכן קיים
כך שאם
ו-
אז
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
כך ש-
. לפיכך
כאשר
ו-
. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-
חסומה שם, לכל k קיימים
כך ש-
ו-
. כעת
, לכן
ולבסוף
![\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_{=a}+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_{=b}-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}](/images/math/4/5/6/456fa3b9a4b4321ff5b0628807ae0eb2.png)
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים
ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של
:
ונבנה
.
כעת, אם נבחר לכל k, (ובפרט הם שווים) נקבל
![\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}](/images/math/e/2/c/e2c8d5770b33bfd9dd5448c8b66ecc2f.png)
נשאיף ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-
קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-
.