שינויים
/* תקצירי קורסים */
{{:משתמש:אור שחף/133 - הרצאה}}
(את ההרצאה ה-3 לא יכולתי לתקן בגלל התקלה באתר. יטופל בהמשך)
==== תרגולים ====
{{:משתמש:אור שחף/133 - תרגול}}
(כנ"ל לגבי התרגול ה-2)
= בגלל התקלה באתר, באופן זמני אני כותב את הרצאה 4 פה, 1.3 =
המשך ההוכחות לשמפט 11:
ב - נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}
ג - נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש אומר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. נובע ש-<math>\Omega(|f|)=\sup\{\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|:\ x,y\in[a,b]\}\le\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>
<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע.
<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k\ge\sum_{k=1}^n (M_k(|f|)-m_k(|f|))\Delta x_k=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)</math>. כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\ge\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. לגבי אי השיוויון נעיר שלכל סכום רימן ל-f
<math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> להסיק ש-<math>\left|\int\limits_a^b f(c)\mathrm dx\right|\le\int\limits_a^b|f(x)|\mathrm dx</math>
ד - נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le M(b-a)</math> ואם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף ג ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>.
ה - לפי הנתון <math>m\le f(x)\le m</math>. לכן, עפ"י סעיף ד <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le m(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}
===משפט 12 {{הערה|(המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)}}===
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)\mathrm dt</math>. אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>x_0\in[a,b]</math> שבה f רציפה A גזירה כך ש-<math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.
# (נוסחת ניוטון-לייבניץ): נניח ש-f רציפה בכל הקטע <math>[a,b]</math>. אם F קדומה ל-f אז <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
====הוכחה====
# כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>y>x\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math>. מתקיים <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)\mathrm dt=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)\mathrm dt</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף שמאל (ולכן אגף ימין) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt<\frac1{|\Delta x|}|\Delta x|\varepsilon</math>. הדבר אפשרי לכל <math>\varepsilon>0</math>. לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}}
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(A(a)+c)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\underbrac{\int\limits_a^a f}_{=0}</math>. {{משל}}
===מסקנה===
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדוומה ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו מתקיים <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>.
====דוגמאות====
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
* <math>e^{x^n}</math> כאשר <math>1<n\in\mathbb N</math>
* <math>\frac{\sin(x)}x</math>
* <math>\sin(x^n)</math>
* <math>\cos(x^n)</math>
====תרגילים לחידוד====
# נגדיר <math>F(x)=\int\limits_2^x e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>F'(x)</math>: לפי חלק א של משפט 12 מתקיים <math>F'(x)=e^{x^3}</math>
# נגדיר <math>G(x)=\int\limits_{x^2}^{\sin(x)} e^{t^3}\mathrm dt</math>. נמצא את <math>G'(x)</math>: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_0^x e^{t^3}\mathrm dt</math> ולכן <math>F'(x)=e^{x^3}</math> לפי זה <math>G(x)=F(\sin(x))-F(x^2)</math> ולכן, ע"פ כלל השרשרת, <math>G'(x)=F'(\sin(x))\cos(x)-F'(x^2)\cdot2x=e^{\sin^3(x)}\cos(x)-2xe^{x^6}</math>
גרף (1)
הגדרה: עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז <math>\int\limits_a^b f</math> = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן <math>\int\limits_a^b |f|</math> = השטח בין הגרף לציר ה-x.
====דוגמת חישוב====
גרף (4)
כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b f-g</math>, ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-<math>f(x)\ge g(x)</math> ב-<math>[a,b]</math>.
למשל נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>
גרף (5)
תשובה: בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא <math>\int\limits_0^\frac\pi4 (\cos(x)-\sin(x))\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 (\sin(x)-\cos(x))\mathrm dx=[\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4+[-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2=\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)=2\sqrt2-2</math>.
