הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
מ (←אינטגרציה) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | {{כותרת נושא|אינטגרציה|נושא ראשון}} | |
− | '''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. | + | '''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל. |
− | + | ===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | |
− | + | ||
נתון הגרף (1) של y=x<sup>2</sup>. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים). | נתון הגרף (1) של y=x<sup>2</sup>. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים). | ||
שורה 24: | שורה 23: | ||
''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ||
− | + | ==משפט 0== | |
אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> | אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} | ||
שורה 35: | שורה 34: | ||
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף. | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> את השטח שמתחת לגרף. | ||
− | + | ==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | |
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. | ||
# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>. | # אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>. | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
<ol> | <ol> | ||
<li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>. | <li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>. | ||
שורה 52: | שורה 51: | ||
</ol> | </ol> | ||
− | + | =האינטגרל לפי דרבו= | |
− | + | ==הקדמה - הגדרות== | |
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: | ||
{{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}} | {{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}} | ||
שורה 67: | שורה 66: | ||
* שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | ||
− | + | ==משפט 1== | |
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
{| | {| | ||
{{=|l=m(b-a) | {{=|l=m(b-a) | ||
שורה 95: | שורה 94: | ||
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>. | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>. | ||
− | + | ==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | |
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>. | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>. | ||
− | + | ===דוגמה=== | |
בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. | בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}q&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. | ||
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | ||
שורה 111: | שורה 110: | ||
'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | ||
− | + | ==משפט 2== | |
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז | ||
{{left| | {{left| | ||
שורה 122: | שורה 121: | ||
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>. | כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>. | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>. | מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>. | ||
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math> | כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math> | ||
שורה 145: | שורה 144: | ||
עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. | עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f(x)dx\le\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. | ||
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | מסקנה 1 אומרת | + | מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. {{משל}} |
גרסה מ־11:44, 2 במרץ 2011
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף (1) של y=x2. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע :
![0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1](/images/math/b/5/a/b5a2d46d7dc9219f3515357b15273917.png)
(באופן כללי )
מעל כל תת קטע קטן נבנה "מלבן חוסם" שגובהו
. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א
. הדבר נכון לכל
ולכן נוכל להשאיף את
ולקבל
, לכן
.
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה
קדומה ל-f ב-I אם
.
דוגמה: אם אז
.
משפט 0
אם ו-
קדומות ל-
בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן
. לפי תוצאה ממשפט לגרנג'
.
הגדרה: תהי רציפה בקטע
. נסמן ב-
את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
נגדיר
אזי
.
- אם
קדומה ל-
ב-
אז
.
הוכחה
- גרף (3). רואים ש-
וננסה להוכיח ש-
. יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה
. בציור:
= שטח הארובה,
= בסיס הארובה, לכן
= הגובה הממוצע של הארובה. לכן
= הגובה הממוצע כאשר
=
.
- נתונה פונקציה קדומה
. מחלק 1 ידוע גם ש-
פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
. לכן
.
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י
ו-
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של
:
![a=x_0<x_1<\dots<x_n=b](/images/math/b/9/e/b9e3e69b8b589784847d68a65a5a365a.png)
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות
ואת הפרמטר של P להיות
.
לכל k כך ש- נגדיר
וכן
.
גרף (4).
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
לכל k מתקיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון"
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-
אם
ואם הם שווים אז נגדיר
להיות הערך המשותף של
ו-
.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה
.
נקח חלוקה כלשהי ל-
:
.
לכל k מתקיים וכן
. לכן
ואילו
.
מכאן ו-
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של
נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. תהי P חלוקה של
ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-
)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת
כך ש-
עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר
ו-
.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע
עבור
כלשהו. לכן
![M_i\ge M_i^+,M_i^-](/images/math/5/a/d/5ad6ab75cacd62d937abe01524042397.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}](/images/math/f/c/2/fc2cbee324ae96e1814e2cc8dc0ed399.png)
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}](/images/math/0/0/f/00f9ae8a280bdec41cdd15d8b04f28d7.png)
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק
.
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים
.
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים
ולכן
. כמו כן, לפי ההגדרה
ו-
.