שינויים

גרף (1)

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבוהראשונה.

=== אינטגרבליות לפי דרבו ===

תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)]} f(x)</math>. לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

<math>\overline underline I:=\infsup\{\overline underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>}}אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

==דוגמה 1==הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>\underline I=\sup\{\underline Sf(Tx):\ =x</math> חלוקה אינטגרבילית בקטע <math>T\}[0,1]</math>ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

<math>\overline I=\underline I</math>==פתרון==='''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.

'''דוגמה 1דרך 2:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>g(\Delta x)=x\frac1n</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

''דרך 1באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):'' חישוב ע"י משולש{{left|<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n</math>}}אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

''דרך 2נחשב:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה {{left|<math>\Delta xoverline I=\lelim_{n\frac1nto\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline underline I=\lim_{n\to\infty} \underbracefrac1{n^2}\frac1nsum_{i=0}_^{(n-1)}i=\underbracelim_{n\sum_{i=1to\infty}^\frac1{n ^2}\cdot\frac i {(n-1)n}_{(2)}=\frac12</math>.# רוחב המלבן# אורך המלבן}}

('''הערה:''' נשים לב כי שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>f(\Delta x)\to0</math> מתקיים <math>\overline I=x\underline I</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון).

===פתרון===באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>T_n</math> שעבורה <math>\lambda(T_n)\to0</math>, למשל <math>x_i=\frac{3i}n</math> כאשר <math>n\to\infty</math> (ולכן <math>\Delta x_i=\frac3n\to0</math>). נבנה סכום דרבו מתאים:{|{{=|l=\underline IS |r=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=10}^n \frac3n f\left(\frac i {3i}n\right) |c=ברור ש-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math>ולכן:}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6}}{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6}}{{=|r=18}}|}

באותו אופן מגיעים ל-<math>\overline S=18</math> ולכן <math>\int\limits_0^3 f=18</math>...{{משל}}

==דוגמה 3==הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ===פתרון==='''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}} '''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>. '''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר. ==דוגמה 4==הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\overline Isubset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. ===פתרון==='''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline IS(T_\varepsilon)<\varepsilon</math> נקבל . נתון כי f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(ואפילו נקבל את השטחT_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נגדיר <math>T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}</math>.

עבור <math>\overline I</math> נרשוםנבנה סכום דרבו עליון ותחתון:{{left|<math>\overline IS(T_\varepsilon)=\lim_sup_{nx\to\inftyin[a,c]}f(x)\frac1cdot (c-a)+\overline S(T_{n^2}\sum_{i=1varepsilon'}^n i=)</math>...

באופן דומה <math>\underline IS(T_\varepsilon)=\lim_inf_{nx\toin[a,c]} f(x)\inftycdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>}}לכן:{|{{=|l=\frac1overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) |r=M(c-a)+\overline S(T_{n^2\varepsilon'})-\sum_underline S(T_{i\varepsilon'})-m(c-a) |c=1נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]}^n if(x)</math> וכן <math>m:=\lim_inf_{nx\toin[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:}}{{=|r=(M-m)(c-a)+\inftyoverline S(T_{\varepsilon'})-\fracunderline S(T_{\varepsilon'})}}{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 |o=\le |c=נבחר c כך ש- <math>(nc-1a)n}(M-m)=\frac\varepsilon{2}=</math> (קיים כי כאשר <math>a<c\frac12to a</math>מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)}}{{=|r=\varepsilon}}|}{{משל}}

'''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא ==דוגמה 5==חשב <math>\tfrac12lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math>.'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה ===פתרון===נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>\Delta e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\to0lim_{n\impliesto\overline infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים.Iלכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\underline Ifrac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.

'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>y[e^x]_0^1=9e^1-xe^20=e-1</math> ומעל לקטע (הפונקציה הקדומה של <math>[0,3]e^x</math> כאשר היא <math>x_ke^\starx</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית).{{משל}}

נחלק את הקטע '''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta f(x\to0)</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה תהיה אינטגרבילית ב-<math>\Delta x=\frac3n[a,b]</math>הוא ש-f חסומה בקטע.

כאשר '''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>k\in\{0[a,1,2,\dots\}b]</math> מתקיים ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}[a,b]</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

==דוגמה 6==קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:<ol><li><math>\underline Sf(x)=\lim_begin{cases}\Delta tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\to0}\sum_{k=1}^n \Delta &x=\cdot f(tfrac\underbracepi2\end{cases}</math> בקטע <math>\Delta xleft[0,\cdot k}_{tfrac\pi2\right]</math>.=x_k^==פתרון==='''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\starlim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\Delta xto\to0frac\pi2^-}\Delta tan(x)=\sum_lim_{k=1}\to\frac\pi2^n (9-}\frac{\sin(x)}{\Delta cos(x)}=\cdot k)^2infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}</li><li><math>f(x)=\lim_begin{cases}\Delta sin\left(\frac1x\right)&x\to0}ne0\Delta \0&x=0\sum_end{kcases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.===פתרון==='''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1}^n \le\sin\left(9-\Delta x^2frac1x\cdot k^2right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}</li></ol>