שינויים

גרף (1)

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבוהראשונה.

=== אינטגרבליות לפי דרבו ===

תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)]} f(x)</math>. לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

<math>\overline underline I:=\infsup\{\overline underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>}}אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

==דוגמה 1==הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>\underline I=\sup\{\underline Sf(Tx):\ =x</math> חלוקה אינטגרבילית בקטע <math>T\}[0,1]</math>ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

<math>\overline I=\underline I</math>==פתרון==='''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.

'''דוגמה 1דרך 2:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>g(\Delta x)=x\frac1n</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

'''פתרון:''' ''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש. ''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>. , ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.

 (נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון) באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון(עם נקודות קצה שמאליות):{{left|<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=10}^{n -1} \frac i n</math> ...}}

עבור <math>\overline I</math> נרשוםנחשב:{{left|<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math>...

באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=10}^{n -1} i=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>}}

'''מסכנה:''' לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת{{משל}}

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף '''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו צריכים יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0\implies</math> מתקיים <math>\overline .I=\underline I</math>.

==דוגמה 2==חשב את השטח שמתחת לעקומה <math>y=9----'''''יש טעותx^2</math> בקטע <math>[0, היא תתוקן בהמשך'''''3]</math>. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום ===פתרון===באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>y=9-x^2T_n</math> ומעל לקטע שעבורה <math>[0\lambda(T_n)\to0</math>,3]למשל <math>x_i=\frac{3i}n</math> כאשר <math>x_k^n\to\starinfty</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית(ולכן <math>\Delta x_i=\frac3n\to0</math>). קבע בפרוט אם נבנה סכום דרבו מתאים:{|{{=|l=\underline S |r=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f אינטגרבילית.\left(\frac{3i}n\right) |c=ברור ש-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math> ולכן:}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6}}{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6}}{{=|r=18}}|}

'''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים באותו אופן מגיעים ל-<math>x_k^\staroverline S=18</math> ולכן <math>\int\limits_0^3 f=18</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת). {{משל}}

נחלק את הקטע ==דוגמה 3==הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[0a,3b]</math>, נבחר חלוקה המקיימת אז f אינטגרבילית ב-<math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n[a,b]</math>.

כאשר ===פתרון==='''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>kf(x)=\begin{cases}1&x\in\{0,mathbb Q\\-1,2,&x\dotsnot\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> מתקיים (כאשר <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}D(x)</math>היא פונקצית דיריכלה). נשים לב שבקטע ברור כי <math>|f יורדת |</math> אינטגרבילית (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימוםכי היא קבועה).לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}}

<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>----'''ד<math>|f|</math>וגמה 3הערה:''' הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]\Delta x\to0</math>.

'''פתרוןהערה:''' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה <math>f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. ברור נראה בהמשך כי <math>|f|</math> אינטגרבילית אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (כי היא קבועהשם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיוביהפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

'''הערה:''' זוהי ==דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס4==הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\subset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

===פתרון==='''הערההוכחה:''' נראה בהמשך יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטעT_\varepsilon). הפתרון במקרה זה יפה יותר-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>.

'''דוגמה 4:''' הוכח או הפרך: אם נתון כי f חסומה אינטגרבילית ב-<math>[ac,b]</math> ולכל ולכן יש חלוקה <math>[c,d]T_{\subseteq[a,b]varepsilon'}</math> f אינטגרבילית ב-של <math>[c,db]</math> אז f אינטגרבילית בעבורה מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נגדיר <math>[T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a,b]\}</math>.

'''הוכחהנבנה סכום דרבו עליון ותחתון:''' רוצים להראות כי לכל {{left|<math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>overline S(T_\varepsilon</math> המקיימת ב-<math>)=\sup_{x\in[a,bc]</math> ש-<math>\overline S} f(T_cx)-\underline Scdot (T_cc-a)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math>.

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. <math>\overline underline S(T_\varepsilon)=\sup_inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline underline S(T_{\varepsilon'})</math> ובאופן דומה}}לכן: <math>{|{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) |r=M(c-a)+\inf_overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) |c=נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\cdot inf_{x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:}}{{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})}}{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 |o=\le |c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math>.(קיים כי כאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)}}...{{=|r=\varepsilon}}|}

'''==דוגמה 5:''' ==חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnnfrac{n-1}n}+e\right)</math>.

'''===פתרון:''' ===נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי , וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן . לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.

לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>).{{משל}}

'''משפט:''' תנאי הכרחי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע. ''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.-

'''דוגמה 6משפט:''' קבע מי מהפונקציות הבאות תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרביליתב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.

# <math>'''משפט:''' אם f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> חסומה בקטע <math>\left[0a,\frac\pi2\rightb]</math>:# '''פתרון:''' נראה כי ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f לא חסומה. אינטגרבילית ב-<math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty[a,b]</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}

#==דוגמה 6==קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:<ol><li><math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.===פתרון==='''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}</li><li><math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad &x\ne0\\0\quad &x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.:# ===פתרון==='''פתרוןכן אינטגרבילית:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}</li></ol>