הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות *יהיו <m...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | ||
+ | *יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n}</math> . | ||
+ | הוכיחו כי אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס | ||
+ | ;הוכחה. | ||
+ | אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור <math>b_n</math> גדול מזה של <math>a_n</math> , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור <math>b_n</math> גדול מהטור <math>a_n</math> : | ||
− | + | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{b_1}</math> מתכנס. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
צריך להוכיח כי | צריך להוכיח כי | ||
− | + | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1}</math> מתכנס. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
אבל קל להוכיח באינדוקציה כי | אבל קל להוכיח באינדוקציה כי | ||
− | + | :<math>\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_n}{a_1}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
אכן, | אכן, | ||
+ | :<math>\dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1}</math> | ||
− | + | (את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\dfrac{a_1}{a_1}=\dfrac{b_1}{b_1}</math>) | |
− | + | ||
− | + | ||
− | (את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן <math>\ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את | + | ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את שרצינו. |
גרסה אחרונה מ־13:06, 15 בפברואר 2017
- יהיו טורים חיוביים כך ש- .
הוכיחו כי אם מתכנס אזי גם מתכנס
- הוכחה.
אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור גדול מזה של , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור גדול מהטור :
- מתכנס.
צריך להוכיח כי
- מתכנס.
אבל קל להוכיח באינדוקציה כי
אכן,
(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן )
ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את שרצינו.