הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== תהי <math>a_n</math>...") |
Avraham816 (שיחה | תרומות) (←משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים) |
||
(8 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ||
+ | תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: | ||
− | + | *הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס | |
− | + | *השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math> | |
− | *הטור <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס | + | |
− | *השארית <math>R_k=\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\ | + | |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
+ | נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. | ||
+ | |||
+ | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . | ||
+ | |||
+ | *<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|</math> | ||
+ | |||
+ | נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: | ||
+ | :<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> | ||
+ | לכן | ||
+ | :<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math> | ||
+ | כלומר | ||
+ | :<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> | ||
+ | וכן הלאה עד שנקבל | ||
+ | :<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). | ||
+ | |||
+ | לפי טיעון דומה, <math>\left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | :<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}</math> | ||
+ | |||
+ | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־17:51, 9 ביולי 2022
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- .
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש- שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.