הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ==משפט דה-מואבר== מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספר...") |
(←משפט דה-מואבר) |
||
(9 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 27: | שורה 27: | ||
מסקנה: '''משפט דה-מואבר''' | מסקנה: '''משפט דה-מואבר''' | ||
− | ::<math>\Big( | + | ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math> |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''מציאת השורשים''' למשוואה מהצורה: | ||
+ | |||
+ | ::<math>z^n=rcis\theta</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נוסחא: כל השורשים הם מהצורה <math>\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})</math> | ||
+ | |||
+ | כאשר <math>k=0,1,2,...,n-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': | ||
+ | |||
+ | מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^4=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון''': | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כיצד ניתן לחשב את כולן? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נשים לב כי <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>4\theta = 2\pi k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{4}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': | ||
+ | |||
+ | הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון''': | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math> |
גרסה אחרונה מ־12:26, 22 באוגוסט 2017
משפט דה-מואבר
מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:
כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.
הוכחה:
מסקנה: משפט דה-מואבר
מציאת השורשים למשוואה מהצורה:
נוסחא: כל השורשים הם מהצורה
כאשר
תרגיל:
מצא את כל הפתרונות למשוואה
פתרון:
נסמן . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:
לכן . ו- היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.
הזויות המקיימות את זה הן:
כיצד ניתן לחשב את כולן?
נשים לב כי
ולכן
ולכן כאשר
תרגיל:
הוכח כי
פתרון:
השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.
תרגיל: פתרו את המשוואה
תרגיל: חשב את הביטוי