הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←3) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 63: | שורה 63: | ||
*<math>1+i</math> | *<math>1+i</math> | ||
− | <math>r=sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> | + | <math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> |
− | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math> | + | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4}</math> |
+ | |||
+ | לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4})</math> | ||
*<math>(1-i)^{-1}</math> | *<math>(1-i)^{-1}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math> | ||
+ | |||
+ | זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4})</math> | ||
*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math> | *<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math> | ||
+ | |||
+ | ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:<math>(1+i)(2-3i)</math>. נפתח סוגריים ונקבל: <math>(2+3)+(-3+2)i</math>. סה"כ הצורה הקרטזית היא <math>5-i</math> | ||
+ | |||
+ | הצורה הפולארית: <math>r=\sqrt{26}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\varphi = arctan(\frac{-1}{5}) \approx -11^\circ</math> | ||
+ | |||
+ | לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{26}\cdot cis(-11^\circ)</math> | ||
*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math> | *<math>cis(\frac{\pi}{2})</math> | ||
+ | |||
+ | נמצא את הצורה הקרטזית: <math>x=cos(\frac{\pi}{2})=0 , y=sin(\frac{\pi}{2})=1</math> | ||
+ | |||
+ | לכן המספר שווה לi | ||
*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math> | *<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x=2cos(1006\pi)=2cos(0)=2</math> | ||
+ | |||
+ | <math>y=2sin(1006\pi)=2sin(0)=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן המספר שווה ל2 |
גרסה אחרונה מ־02:37, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
3
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:
לכן הצורה הפולארית היא
זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא:
ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:. נפתח סוגריים ונקבל: . סה"כ הצורה הקרטזית היא
הצורה הפולארית:
לכן הצורה הפולארית היא
נמצא את הצורה הקרטזית:
לכן המספר שווה לi
לכן המספר שווה ל2