הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
מ |
מ |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 14: | שורה 14: | ||
* אם <math>a,b</math> זרים ו־<math>a\mid bc</math> אזי <math>a\mid c</math>. | * אם <math>a,b</math> זרים ו־<math>a\mid bc</math> אזי <math>a\mid c</math>. | ||
* אם <math>\forall i:\ k_i,m_i\in\mathbb N</math> וה־<math>p_i</math> שונים זה מזה אזי <math>\left(\prod_i p_i^{k_i},\prod_i p_i^{m_i}\right)=\prod_i p_i^{\min\{k_i,m_i\}}</math>. | * אם <math>\forall i:\ k_i,m_i\in\mathbb N</math> וה־<math>p_i</math> שונים זה מזה אזי <math>\left(\prod_i p_i^{k_i},\prod_i p_i^{m_i}\right)=\prod_i p_i^{\min\{k_i,m_i\}}</math>. | ||
− | * <math>m</math> יקרא חופשי | + | * <math>m</math> יקרא חופשי מריבועים אם <math>\nexists p\in\mathcal P:\ p^2\mid m</math>. |
* '''אלגוריתם אוקלידס:''' נניח <math>b\ne0</math> ונרצה לחשב <math>(a,b)</math> כאשר <math>a>b</math>. אם <math>r</math> שארית החלוקה של <math>a</math> ב־<math>b</math> אזי <math>(a,b)=(b,r)</math>. נמשיך כך עד שנקבל <math>(x,0)=x</math>. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את <math>ax+by=(a,b)</math>: נסמן <math>r_{-1}=a, r_0=b</math> ולכן בתהליך החישוב של <math>(a,b)</math> עם האלגוריתם נקבל <math>\forall0\le i\le k:\ r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}</math> כאשר <math>r_{k+1}=(a,b)</math>. לפיכך:{{left|<math>\begin{align}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_kq_{k+1}\\&=r_{k-1}-(r_{k-2}-r_{k-1}q_k)q_{k+1}\\&=r_{k-1}(1+q_kq_{k+1})-r_{k-2}q_{k+1}\\&=\dots\\&=r_0y-r_{-1}(-x)\\&=ax+by\end{align}</math>}} | * '''אלגוריתם אוקלידס:''' נניח <math>b\ne0</math> ונרצה לחשב <math>(a,b)</math> כאשר <math>a>b</math>. אם <math>r</math> שארית החלוקה של <math>a</math> ב־<math>b</math> אזי <math>(a,b)=(b,r)</math>. נמשיך כך עד שנקבל <math>(x,0)=x</math>. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את <math>ax+by=(a,b)</math>: נסמן <math>r_{-1}=a, r_0=b</math> ולכן בתהליך החישוב של <math>(a,b)</math> עם האלגוריתם נקבל <math>\forall0\le i\le k:\ r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}</math> כאשר <math>r_{k+1}=(a,b)</math>. לפיכך:{{left|<math>\begin{align}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_kq_{k+1}\\&=r_{k-1}-(r_{k-2}-r_{k-1}q_k)q_{k+1}\\&=r_{k-1}(1+q_kq_{k+1})-r_{k-2}q_{k+1}\\&=\dots\\&=r_0y-r_{-1}(-x)\\&=ax+by\end{align}</math>}} | ||
* נאמר ש־<math>a,b</math> חופפים מודולו <math>m>1</math> (ונסמן <math>a\equiv b\pmod m</math>) אם <math>m\mid a-b</math>. <math>\equiv</math> מגדיר יחס שקילות כאשר <math>\bar a=[a]=a+m\mathbb Z</math> מחלקת השקילות של <math>a</math> ו־<math>\mathbb Z_m</math> קבוצת מחלקות השקילות. | * נאמר ש־<math>a,b</math> חופפים מודולו <math>m>1</math> (ונסמן <math>a\equiv b\pmod m</math>) אם <math>m\mid a-b</math>. <math>\equiv</math> מגדיר יחס שקילות כאשר <math>\bar a=[a]=a+m\mathbb Z</math> מחלקת השקילות של <math>a</math> ו־<math>\mathbb Z_m</math> קבוצת מחלקות השקילות. | ||
שורה 30: | שורה 30: | ||
* '''משפט אוילר:''' אם <math>(a,m)=1</math> אז <math>a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m</math>. ''משפט פרמה'' הוא מקרה פרטי כאשר <math>m</math> ראשוני. | * '''משפט אוילר:''' אם <math>(a,m)=1</math> אז <math>a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m</math>. ''משפט פרמה'' הוא מקרה פרטי כאשר <math>m</math> ראשוני. | ||
* '''משפט וילסון:''' <math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>. | * '''משפט וילסון:''' <math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>. | ||
− | * '''מבחן הראשוניות של | + | * '''מבחן הראשוניות של Solovay & Strassen:''' <math>m</math> ראשוני אם״ם <math>m=2</math> או <math>\forall x\in[1,m-1]\cap\mathbb Z:\ (x,m)=1\ \and\ x^\frac{m-1}2\equiv\left(\frac xm\right)\pmod m</math>. |
:* אם <math>m</math> פריק אז <math>x</math> שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של <math>m</math>. | :* אם <math>m</math> פריק אז <math>x</math> שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של <math>m</math>. | ||
:* אם <math>m</math> פריק אז לפחות חצי מהמספרים <math>1,2,\dots,m-1</math> הם עדים לפריקות. | :* אם <math>m</math> פריק אז לפחות חצי מהמספרים <math>1,2,\dots,m-1</math> הם עדים לפריקות. | ||
שורה 83: | שורה 83: | ||
* יש <math>\frac{p+1}2</math> שאריות ריבועיות ב־<math>\mathbb Z_p</math> והן <math>0^2,1^2,\dots,\left(\frac{p-1}2\right)^2</math>. | * יש <math>\frac{p+1}2</math> שאריות ריבועיות ב־<math>\mathbb Z_p</math> והן <math>0^2,1^2,\dots,\left(\frac{p-1}2\right)^2</math>. | ||
* אם <math>m^2\equiv n^2\pmod p</math> אז <math>m\equiv\pm n\pmod p</math>. | * אם <math>m^2\equiv n^2\pmod p</math> אז <math>m\equiv\pm n\pmod p</math>. | ||
− | * '''סימן לז׳נדר:''' <math>\left(\frac ap\right):=\begin{cases}0,&a\equiv0\pmod p\\1,&\exists\alpha:\ \alpha^2\equiv a\pmod p\\-1,&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך <math>a</math> שארית ריבועית אם״ם <math>\left(\frac | + | * '''סימן לז׳נדר:''' <math>\left(\frac ap\right):=\begin{cases}0,&a\equiv0\pmod p\\1,&\exists\alpha:\ \alpha^2\equiv a\pmod p\\-1,&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך <math>a</math> שארית ריבועית אם״ם <math>\left(\frac ap\right)\ne-1</math>. |
* '''משפט אוילר:''' <math>a^\frac{p-1}2\equiv\left(\frac ap\right)\pmod p</math>. | * '''משפט אוילר:''' <math>a^\frac{p-1}2\equiv\left(\frac ap\right)\pmod p</math>. | ||
* '''למת גאוס:''' נסמן <math>p_1:=\frac{p-1}2</math> ונגדיר <math>\forall 0\le i\le p_1:\ r_i:\equiv ia\pmod p</math> כאשר <math>-p_1\le r_i\le p_1</math>. אזי <math>\left(\frac ap\right)=\prod_{i=1}^{p_1}\sgn(r_i)</math>. | * '''למת גאוס:''' נסמן <math>p_1:=\frac{p-1}2</math> ונגדיר <math>\forall 0\le i\le p_1:\ r_i:\equiv ia\pmod p</math> כאשר <math>-p_1\le r_i\le p_1</math>. אזי <math>\left(\frac ap\right)=\prod_{i=1}^{p_1}\sgn(r_i)</math>. | ||
שורה 123: | שורה 123: | ||
* מגדירים <math>N_f(m)=|\{x\in\mathbb Z_m:\ f(x)\equiv0\pmod m\}|</math>. זו פונקציה כפלית אריתמטית. | * מגדירים <math>N_f(m)=|\{x\in\mathbb Z_m:\ f(x)\equiv0\pmod m\}|</math>. זו פונקציה כפלית אריתמטית. | ||
* '''שיטת הנזל:''' יהי <math>x_0</math> פתרון של <math>f(x)\equiv0\pmod{p^e}</math> כאשר <math>e\in\mathbb N^+</math> ונרצה לפתור <math>f(x)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו: | * '''שיטת הנזל:''' יהי <math>x_0</math> פתרון של <math>f(x)\equiv0\pmod{p^e}</math> כאשר <math>e\in\mathbb N^+</math> ונרצה לפתור <math>f(x)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו: | ||
− | :* <math>f'(x_0)\equiv0\pmod p</math>: | + | :* <math>f'(x_0)\equiv0\pmod p</math>: לכל <math>0\le k\le p-1</math> המספרים <math>x_0+kp^e</math> (מודולו <math>p^{e+1}</math>) הם הפתרונות למשוואה אם״ם <math>f(x_0)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. |
:* <math>f'(x_0)\not\equiv0\pmod p</math>: לכן <math>\left(f'(x_0)\right)^{-1}\pmod p</math> קיים ו־<math>x_0+kp^e</math> עבור <math>k:\equiv-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\frac{f(x_0)}{p^e}\pmod p</math> הוא הפתרון היחיד. | :* <math>f'(x_0)\not\equiv0\pmod p</math>: לכן <math>\left(f'(x_0)\right)^{-1}\pmod p</math> קיים ו־<math>x_0+kp^e</math> עבור <math>k:\equiv-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\frac{f(x_0)}{p^e}\pmod p</math> הוא הפתרון היחיד. | ||
* '''משפט בסונט:''' אם <math>x_0</math> שורש של <math>f(x)\equiv0\pmod m</math> אז קיימת <math>g\in\mathbb Z_m[x]</math> כך ש־<math>f(x)=(x-x_0)g(x)</math> ו־<math>\deg(g)<\deg(f)</math>. | * '''משפט בסונט:''' אם <math>x_0</math> שורש של <math>f(x)\equiv0\pmod m</math> אז קיימת <math>g\in\mathbb Z_m[x]</math> כך ש־<math>f(x)=(x-x_0)g(x)</math> ו־<math>\deg(g)<\deg(f)</math>. |
גרסה אחרונה מ־17:23, 28 באוגוסט 2013
בקורס זה ו־
. כמו כן, אלא אם צוין אחרת,
, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־
ראשוני.
תוכן עניינים
- משפט פיאנו: קיימת קבוצה בודדה
שעבורה יש פונקציה
המקיימת את אקסיומות פיאנו:
חח״ע,
,
ואם
מקיימת
אזי
.
-
מחולק לשלוש קבוצות: יחידות –
, ראשוניים –
ופריקים –
.
- לכל
ו־
קיים זוג יחיד של שארית
ומנה
כך ש־
.
- המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה: כל מספר ב־
ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים.
- למת אוקלידס: אם
אז
.
- נסמן
אם
.
- נניח ש־
ו/או
שונים מ־0. אזי קיים
יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של
ומסומן
) עבורו
ואם
כך ש־
אזי
.
- אם
אזי
.
-
.
-
.
- אם
זרים ו־
אזי
.
- אם
וה־
שונים זה מזה אזי
.
-
יקרא חופשי מריבועים אם
.
- אלגוריתם אוקלידס: נניח
ונרצה לחשב
כאשר
. אם
שארית החלוקה של
ב־
אזי
. נמשיך כך עד שנקבל
. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את
: נסמן
ולכן בתהליך החישוב של
עם האלגוריתם נקבל
כאשר
. לפיכך:
- נאמר ש־
חופפים מודולו
(ונסמן
) אם
.
מגדיר יחס שקילות כאשר
מחלקת השקילות של
ו־
קבוצת מחלקות השקילות.
- אם
ו־
אז
.
- יהי
.
אם״ם
הפיך. ניתן למצוא את ההופכי ל־
ע״י פתירת
, ואז
.
-
.
- פונקציית אוילר היא
עבורה
.
- פונקציית אוילר כפלית אריתמטית.
- מערכת מלאה מודולו m היא קבוצה
עבורה
. קיים
יחיד כנ״ל לכל
. באופן שקול, המערכת מלאה מודולו
אם
.
- אם
מלאה מודולו
,
ו־
שלם אזי
מלאה מודולו
.
- מערכת מצומצמת מודולו m היא קבוצה
כך ש־
. באופן שקול,
.
- אם
מצומצמת מודולו
ו־
אז
מצומצמת מודולו
.
- אם
אזי
. בפרט,
.
- משפט גאוס:
.
- משפט אוילר: אם
אז
. משפט פרמה הוא מקרה פרטי כאשר
ראשוני.
- משפט וילסון:
.
- מבחן הראשוניות של Solovay & Strassen:
ראשוני אם״ם
או
.
- אם
פריק אז
שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של
.
- אם
פריק אז לפחות חצי מהמספרים
הם עדים לפריקות.
- אם
- משפט גאוס:
חבורה ציקלית, כלומר קיים
כך ש־
.
- לכל
אותו
יחיד מודולו
ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו
של
לפי
" ומסומן
.
- כל
כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש
כאלה.
- הכללה:
ציקלית אם״ם
.
- לכל
פונקציות אריתמטיות
-
נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ
.
- קונבולוציית דיריכלה בין שתי פונקציות אריתמטיות
מוגדרת ע״י
. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- נסמן
.
היא פונקציית היחידה ביחס לקונבולוציה, כלומר
.
-
אריתמטית תקרא כפלית אם
וכפלית אריתמטית אם
.
- אם
כפליות אריתמטיות אז כך גם
.
- פונקציית הממוצע האריתמטי של
מוגדרת ע״י
כאשר
.
- אם
אז
נקראת הפיכה (ביחס לקונבולוציית דיריכלה) ונסמן
.
-
הפיכה אם״ם
.
- אם
הפיכה וכפלית אריתמטית אז
כפלית אריתמטית.
- פונקציית מוביוס היא
ומקיימת
.
-
.
- מגדירים
.
- נגדיר
. מקרה שימושי הוא
ואז
כאשר
.
-
.
חוג השלמים של גאוס
האיברים ב־ נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר
עבורם
) הם
.
- אם
ו־
יחידה אז
נקראים דומים.
- נגדיר
ע״י
. היא כפלית (
) ו־
יחידה אם״ם
.
- ראשוני של גאוס הוא שלם
של גאוס שאינו יחידה ואם
אז
או
יחידות.
- אם
כך ש־
אז יש
עבורם
כך ש־
.
- משפט גאוס: ב־
קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס.
- הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים:
-
. הוא "קשור" ל־2 ע״י
.
- לכל
יש פתרון ל־
. המספרים
הם ראשוניים לא דומים של גאוס.
- כל
הוא גם ראשוני של גאוס.
-
- כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו.
- אם
אז
ראשוני של גאוס.
פתרון משוואות דיופנטיות
- משוואה לינארית ב־2 נעלמים: נרצה לפתור
כאשר
משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים:
-
: אין פתרון.
-
: ניתן לפתור
ע״י אלגוריתם אוקלידס (כמפורט בהמשך הסעיף). הפתרון הכללי הוא
לכל
.
-
: נחלק את אגפי המשוואה ב־
ונקבל משוואה חדשה מהמקרה הקודם.
- אם בפרט
אז ניתן לפתור גם באמצעות אלגוריתם אוקלידס.
- אם בפרט
-
- משפט השאריות הסיני: נניח ש־
ונתונה
. למערכת
קיים פתרון יחיד מודולו
.
- אם
אז
. ה־
־ים מקיימים
כאשר
.
- הכללה: אם לא נתון ש־
אז יש פתרון אם״ם
.
- אם
משוואות ריבועיות
בפרק זה ו־
אי־זוגי.
- אם קיים פתרון ל־
אז
יקרא שארית ריבועית (ש״ר).
- יש
שאריות ריבועיות ב־
והן
.
- אם
אז
.
- סימן לז׳נדר:
. לפיכך
שארית ריבועית אם״ם
.
- משפט אוילר:
.
- למת גאוס: נסמן
ונגדיר
כאשר
. אזי
.
- סימן יעקובי: יהי
. מגדירים
.
- אם
אז ל־
אין פתרון. ההפך לא תמיד נכון.
- תכונות של סימני לז׳נדר ויעקובי:
-
אז
.
-
ו־
.
-
,
ו־
.
- משפט ההדדיות הריבועית: אם גם
אי־זוגי אז
.
-
- למת לגרנז׳:
שארית ריבועית מודולו
אם״ם
. השורש מודולו
הוא
.
- משפט פרמה: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
(או
).
- אם
לאו דווקא ראשוני אבל
אז עדיין אין פתרון בשלמים.
- עקרון דיריכלה: נרצה לפתור את המשוואה. נסמן
ונניח
כך ש־
. נסמן
ו־
והם פותרים את
.
- אם
- משפט אוילר: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
.
- משפט דיריכלה: לכל
ו־
זר לו יש אינסוף ראשוניים
עבורם
. בפרט יש אינסוף ראשוניים עבורם
.
-
שארית ריבועית מודולו
לכל
אם״ם
.
- יהי
ונרצה לפתור
כשנתון ש־
שארית ריבועית:
. למקרה
יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו.
משוואות פיתגורס
נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של .
- פתרון יקרא פרמיטיבי אם
.
- הפתרונות החיוביים (כלומר
) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו
זרים. אם הם אי־זוגיים אז
ואם אחד מהם זוגי אז
.
עקומות רציונליות
- יהי
פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר
) שאינה פריקה (כלומר אין
לא קבועות כך ש־
). העקומה
תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה
(למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר
הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים.
- נניח ש־
לא פריקה ו־
. אם ל־
יש פתרון ב־
אז
רציונלית.
- משפט לג׳נדר: נרצה לדעת אם ל־
יש פתרון רציונלי כאשר
. ניתן להניח בה״כ ש־
שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם
ש״ר מודולו
,
ש״ר מודולו
ו־
ש״ר מודולו
.
משוואות פל
יהי שאינו ריבועי. משוואת פל היא
כאשר
. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי
.
- לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי.
- יהי
הפתרון החיובי המינימלי (נקרא "הפתרון הפונדמנטלי"), כלומר
כך ש־
הוא ה־
המינימלי הגדול מ־1 שקיים לו
הפותר את המשוואה. אזי כל הפתרונות הם
עבור
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
משוואות פולינומיאליות
יהי ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־
כאשר
.
- משוואה לינארית:
. קיים פתרון אם״ם
. אם
פתרון פרטי של
אז כל הפתרונות הם
כאשר
, ויש
פתרונות.
- מגדירים
. זו פונקציה כפלית אריתמטית.
- שיטת הנזל: יהי
פתרון של
כאשר
ונרצה לפתור
. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו:
-
: לכל
המספרים
(מודולו
) הם הפתרונות למשוואה אם״ם
.
-
: לכן
קיים ו־
עבור
הוא הפתרון היחיד.
-
- משפט בסונט: אם
שורש של
אז קיימת
כך ש־
ו־
.
- חילוק פולינומים: אם
ו־
פולינום מתוקן אז קיימים
עבורם
ו־
.
- משפט לגראנז׳: ל־
יש לכל היותר
שורשים. בנוסף, אם
כך של־
יש יותר מ־
שורשים אז אז כל המקדמים ב־
מתחלקים ב־
.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
פריק.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
-
.
- ל־
יש
שורשים שונים. בפרט, אם
אז ל־
יש
שורשים שונים אם״ם
.