הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד פונקציות מפריכות"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד | ||
==פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים== | ==פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים== | ||
<math>f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}</math> | <math>f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}</math> | ||
שורה 4: | שורה 5: | ||
נראה כי <math>f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x)</math> ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול | נראה כי <math>f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x)</math> ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול | ||
+ | ==פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה== | ||
+ | <math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases}</math> | ||
+ | לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם. | ||
+ | |||
+ | אך <math> f(0,y)=0</math> וגם <math>f(x,0)=0</math> ולכן <math>\lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{y\to 0} f(0,y) = f(0,0) = 0</math> | ||
==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית== | ==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית== | ||
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math> | <math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math> | ||
שורה 21: | שורה 27: | ||
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y | <math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y | ||
+ | |||
+ | ==פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות== | ||
+ | |||
+ | <math>f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \text{if}\ x^2+y^2\neq 0 \\ 0 \ \text{else} \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (x,0)-\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{x}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0 , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=x</math> | ||
+ | |||
+ | אז | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x-0}{x}=1</math> | ||
+ | |||
+ | אבל <math>f(x,y)=-f(y,x)</math> אז <math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{-y-0}{y}=-1</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) \neq \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0)</math> |
גרסה אחרונה מ־11:15, 30 בינואר 2016
נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד
תוכן עניינים
פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים
נראה כי ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול
פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \end לא מוכרת): f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases}
לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם.
אך וגם ולכן
פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות
נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא אך לא חסומות סביב (0,0):
- לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y
פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות
אז
אבל אז
כלומר