לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(496 גרסאות ביניים של 83 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
:::<math>
::<math>
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
\lambda & 0 & 0 \\
שורה 19: שורה 19:


'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]''' - שאלות על תרגילים 5-8
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]''' - שאלות על תרגילים 5-8
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן


= שאלות =
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
===תשובה===
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו


==פתיחת מחברות==
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?


==תשובה לעניין ניקוד הבוחן==
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
אנחנו נבצע בדיקה של הבוחן, ונעשה חושבים, ונפרסם את חלוקת הניקוד.
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
  ,תודה רבה.


בינתיים, אני מציע שכל אחד יעבוד על מה שהיה קשה לו בבוחן, כי הרי המטרה העיקרית של הבוחן הינה לאפס אתכם לקראת המבחן. שאלת ההוכחה השנייה מופיעה באתר (ולכן אמרתי לעבור על ההשלמות ותיקונים שהופיעו באתר).


==שאלה==
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
לא יהיה תרגיל 9 השבוע נכון?


==שאלה==
==ציוני מבחן==
רציתי לדעת מהו אחוז הגשת החובה של הקורס?
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
ובנוסף רציתי לדעת מה קורה אם מישהו ממלא את אחוז ההגשה,ומגיש תרגילים נוספים?יורדים הנמוכים או שפשוט נוספים ציונים לממוצע?


===תשובה===
===תשובה===
אחוז ההגשה טרם נקבע, אך הציונים הנמוכים ירדו כפי שתארת
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא


ארז- מה ההיגיון בזה שעוד לא נקבע אחוז ההגשה? כמדומני, הרעיון בלקבוע אחוז הגשה זה לאפשר לסטודנט לתכנן את הזמן שלו בצורה הטובה ביותר בלי לפגוע לעצמו בציון.
==מקום הפרסום==
אותו דבר לגבי שאלת הניקוד בבוחן- לא היה הרבה יותר הגיוני לקבוע מראש את הניקוד לכל שאלה?
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


==שאלה - תרגיל 10==
זה רק אני, או שהשאלות בתרגיל 10 שקבלנו השבוע קשות בצורה משמעותית, שלא לדבר על שאלת ההוכחה הכבדה שנוספה לתרגיל (שאלה 6)?


===תשובה===
===תשובה===
שבוע שעבר לא היה תרגיל, ושבוע לפני זה נתנו תרגיל קל על מנת לתת זמן להתכונן לבוחן. ההוכחה בתרגיל 6 מאד דומה למה שנעשה בכיתה, יש מעט דברים שצריך לחדש בעצמך.
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע


:חבל שאתם שוכחים שאנחנו תיכוניסטים
== שאלה ==


::חבל שאתה שוכח שאנחנו בתוכנית רגילה לתואר, ושאנחנו אמורים לעשות אותם תרגילים כמו סטודנטים רגילים.
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??


:::אני לא מי שכתב את ה'חבל ש...' הראשון, אבל אני חייב להגיב לדבריך - אנחנו אכן בתוכנית רגילה לתואר, אבל כשסיימנו ללמוד את החומר שהיה עלינו ללמוד (בלינארית 2) - התחלנו ללמוד חומר נוסף, שלא בתוכנית, וקבלנו עליו תרגילים. לא שיש לי התנגדות מסויימת, אבל גם ניבחן עליו בעתיד (כך אני נוטה להאמין). הבוחן באינפי, למשל, היה קשה בכמה רמות יותר מהבחנים לדוגמא שפורסמו באתר של ראובן (שהם, בוא לא נשכח, בחנים של 'סטודנטים רגילים' משנים קודמות), ואני בספק אם יהיו יותר מחמישה אנשים בכל התוכנית שיקבלו בבוחן האחרון באינפי מעל 85.
==שאלה==


אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?


זה שלא קיבלנו תרגיל שבוע שעבר לא אומר שצריך לדחוס תרגיל קשה במיוחד בשבוע אחד שגם ככה עמוס בבוחן קשה באינפי.
===תשובה===
מעבר לזה אמרתם שתרגיל 9 יהיה רשות, אז בבקשה תלכו קצת לקראתנו ותנו לנו שבוע הארכה יחד עם תרגיל 9..
כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.


== הוכח\הפרך == 
 
שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- 
תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>


===עוד תשובה===
===תשובה===
אין כזה דבר "תוכנית רגילה לתואר". באוניברסיטאות שונות ומסלולים שונים הרמות שונות. וכשאתם יוצאים עם תואר של תיכוניסטים זה לא אותו דבר כמו תואר רגיל, בדומה לכך שתואר מתל אביב שונה מתואר מהטכניון וכדומה.  
אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).


נוסף על כך, לא למדתם חומר בנוסף לתוכנית בלינארית 2 כלל. התוכנית שונתה השנה, וזה לא קרה במקרה לקבוצת התיכוניסטים בלבד.
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)


אני יודע שהתרגיל הזה כבר עבר וממילא קיבלתם דחייה, אבל חשוב לי שתבינו שהתואר הזה צריך לשמור על רמה מסוימת, ובסופו של דבר אתם תבינו שזה לטובתכם.
== שאלה ==


==שאלה==
אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
בתרגיל 3 המטריצות O1 ו - O2 אורתוגונליים זה לזה??
ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
ועוד שאלה


בתרגיל 4 - ניתן לעשוץ פירוק פולרי ע"פ מטריצות בלוקים מסדר 2X2 ואז לחבר אותם ל 4X4  או שזה לא עובד?


===תשובה===
===הוכחה===
לא, הן מטריצות אורתוגונליות (כל אחת בפני עצמה).
דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


לגבי 4, אני לא בטוח לגמרי מה הכוונה...


==שאלה==
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
בשאלה 2, ההוכחה היא לגבי אופרטורים '''ב-R'''?


==השלמה לבסיס==
האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?


===תשובה===
===תשובה===
רשום בשאלה שמדובר באופרטורים במ"ו מעל R
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
 
==שאלה==
איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?


==שאלה בנוגע לתרגיל 3==
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
יכול להיות שחסר נתון?


===תשובה===
===תשובה===  
כן. חסר נתון. A צריכה להיות הפיכה
תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה


==שאלה==
==שאלה==
בנוגע לתרגיל מס' 2 (בתרגיל 10). אני לא מצליח להבין איך אני מוכיח את זה. הסתכלתי בהוכחה ה"דומה" מההרצאה, אבל הכל שם מסתמך על זה שT אורתוגונלי, כאן T אנטי סימטרי, ובהוכחה מההרצאה עשינו משפטון על T אורתוגונלי במיוחד בשביל ההוכחה עצמה. אני פשוט לא מצליח. אפשר עזרה?
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)


===תשובה===
===תשובה===
מתי מסתמכים שם על כך שT א"ג? הרי ראינו שלכל אופרטור מעל הממשיים של מרחב אינווריאנטי ממימד 1 או 2.
צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
:משפטון: אם T א"ג אז אם U אינוורטי תחת T אז גם U ניצב אינוורטי תחת T ובמשפטון הזה משתמשים.
 
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.


(זה לא ארז) אפשר להוכיח אותו דבר לגבי T אנטי-צל"ע
==שאלה==
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y


==תרגיל 10==
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
תרגיל 10 השבוע היה פשוט -קשה-. לא הספקתי את רוב התרגילים, ואני עדיין מתקשה איתם. אפשר בבקשה הארכה להגשה, כדי שנוכל להעזר במתרגל/מרצה ביום שלישי?
לכל V שייך ל- V.
:מצטרפת.
: גם אני מצטרף, הבוחן באינפי לא אפשר לנו להשקיע מספיק זמן לתרגיל קשה כמו זה


===תשובה===
===תשובה===
אפשר להגיש שבוע אחרי. אבל יהיה לכם עוד תרגיל לשבוע הבא, ולא נוסיף גם לו דחייה.
א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
:תודה רבה מקרב לב!
 
אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.


==שאלה==
ב. זה משפט ההצגה של ריס.
במשפט הפירוק הפולארי, S הוא מעל R?


===תשובה===
כן, הכל מעל R


==שאלה==
==שאלה==
אפשר רמז לגבי איך מוכיחים את היחידות בתרגיל 6?
איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t


===תשובה===
===תשובה===
הרמז רשום בשאלה, מראים שהע"ע ומרחבים העצמיים של 2 כאלה הם שווים, ולכן הם אותו אופרטור
בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
 
החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.


==שאלה==
==שאלה==
יש לי דגמה נגדית לתרגיל 6 בקשר ליחידות וחיוביות לחלוטין. I ו- (I-) שתיהן בריבוע שוות לI ומינוס I שלילית לחלוטין... מה הבעיה?
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?


===תשובה===
===תשובה===
מינוס I אינו חיובי לחלוטין, כפי שרשמת. בתרגיל רשום למצוא מטריצה S חיובית לחלוטין וכזו יש רק אחת
מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות


==שאלה==
==שאלה==
לא כ"כ קשורה לחומר הנלמד עכשיו אבל בכל מקרה :) אם נתון שx^2 הוא ע"ע של A^2, האם ניתן להוכיח שx ע"ע של A?
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
:קחי מטריצה נילפוטנטית מסדר 2...
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
TT=I
TT*=I
ואז T=T* משמע שזה אמת


===תשובה===
===תשובה===
לx יש 2 שורשים. אחד מהם חייב להופיע, השני לא בהכרח. למשל
בוודאי שההופכית יחידה...


<math>A=\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix}</math>
וזו הוכחה נכונה.


אחד השורשים חייב להופיע כי <math>f_{A^2}(x)=f_{A}(\sqrt{x})f_{A}(-\sqrt{x})</math>
:תודה! (:


==שאלה==
== 2 שאלות==
בשאלה 4 בתרגיל 11 כתוב ש T וS מV לF העתקות ליניאריות
1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
העתקה ליניארית לא מV לV?


===תשובה===
2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
לא. אופרטור הוא מV לV. העתקה לינארית היא מV לW שני מרחבים וקטוריים, והשדה הוא מרחב וקטורי מעל עצמו ממימד אחד. (העתקה לינארית מהמרחב לשדה נקראת גם פונקציונל)


==שאלה לגבי שאלה מס' 4 בתרגיל 11==
תודה!
<math>T(v),S(u)\in \mathbb{F}</math> והרי <math>g :V \times V \to \mathbb F</math> אז <math>g(Tv,Su)</math> לא מוגדר...


:<s>הוא דווקא כן מוגדר, הרי F הוא מ"ו ממימד 1.</s>


===תשובה===
===תשובה===
דווקא שואל השאלה צודק.
1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
בסעיף הזה T וS צריכות להיות אופרטורים. אני אתקן ואעלה את זה שוב (זה לא משנה כמובן את ההוכחה, אבל תיאור הבעייה לא מדוייק).


*שיניתי את זה להיות g:FxF-->F. ככה צריך לשנות פחות פרטים בשאלה... ההוכחה נשארת זהה כך או כך.
לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.  


==שאלה לגבי שאלה מס' 1 בתרגיל 11==
זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
יש לי משהו שלא הבנתי בשאלה- בשאלה V1 V2 V3 הם בסיס, ז"א שאני יכול להציג את T באמצעות הבסיס הזה. אבל Tv1 TV2 TV3 בעמודות מטריצה, זה בדיוק ההצגה של T לפי הבסיס הנ"ל. ואם DetT חיובית אז גם אני אקבל שהסימן של הדטרמינטה של של TV1 TV2 TV3 חיובית... לא קשר לV1 V2 V3 המקורים ולא בהכרח באותו סימן. איפה לא הבנתי תשאלה טוב?


===תשובה===
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
Tv1 Tv2 Tv3 זה הצגת ההעתקה מהבסיס הזה לבסיס '''הסטנדרטי'''. הדטרמיננטה של אופרטור מוגדרת ע"י ההצגה שלו מבסיס מסויים לאותו הבסיס.


===המשך השאלה===
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.
האם לכל מרחב וקטורי קיים בסיס סטנדרטי?


בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.


זו שאלה פילוסופית. שאלה 11 מדברת על R^3 כמובן, אחרת אין משמעות לפעולה "לשים את הוקטורים בעמודות מטריצה"
:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?


:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.


שאלה 1 או 11 לגבי R^3? אם לגבי 1, למה אין משמעות לשים את הוקטורים בעמודות מטריצה אם זה לא לR^3?
::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
:::::: אוקי, שוב תודה :)


==בנוגע לשאלה 1==
==שאלה==
*מה הסיבה לכך שניתן בסיס ממימד 3? האם אוריינטצייה בתרגיל זה מתייחסת אך ורק למימד 3? (כפי שהזכרנו את 'חוק היד הימנית')
יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
*"שולח כל בסיס לבסיס עם אותה אוריינטצייה" - מה פירוש? האם הכוונה היא להצגה של T מבסיס אחד לבסיס שני, כלומר <math>[T]^{B_1}_{B_2}</math> ?
הוכח\הפרך:
או שמא הפירוש הוא ש- <math>sign(det([T]_{B_2}))=sign(det([T]_{B_1}))</math> לכל שני בסיסים ממימד 3?
*ומה הכוונה ב"בסיס סדור"?


===תשובה===
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
* כן, בתרגיל זה מדברים על אוריינטציה במימד 3 כמו כלל היד הימנית
* אורינטציה היא פלוס או מינוס. נניח ולבסיס מסוים <math>v_1,v_2,v_3</math> יש אורינטציה פלוס, השאלה היא מה האוריאנטציה של הבסיס <math>Tv_1,Tv_2,Tv_3</math>.
*בסיס סדור, הכוונה היא לבסיס שבו סדר הוקטורים קבוע ומשנה (בניגוד לסתם קבוצה). הרי אם נשנה את סדר הוקטורים בבסיס, ישתנה סדר הוקטורים בדטרמיננטה וכך גם הסימן שלה.


==שאלה 5 בתרגיל 11==
2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
*בסעיף b, כדי להוכיח את השוויון: <math>[f]_B+[g]_B=[f+g]_B</math>,
האם מותר להשתמש בתכונה הבאה: <math>(f+g)(u,v)=f(u,v)+g(u,v)</math> ?
אם לא, איך ניתן להוכיח את השוויון?


הוכחנו בתרגיל שעבור v1...vn אברי בסיס B, האיבר ה-ij של [f] (בבסיס B) הוא (אינדקסים f(vi,vj) : (i,j תעשה לפי זה ולפי חיבור מטריצות וסיימת
תודה לעוזר הנחמד.


===תשובה===
===תשובה===
כן אפשר להשתמש בתכונה הזו כי זו '''ההגדרה''' של חיבור תבניות לינאריות. אחרת מה הכוונה בf+g?
1. הוכחה:
 
אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.


==תרגיל 11, שאלה 6 b==
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
השאלה היא בדיוק ההגדרה. האם זו הכוונה?


===תשובה===
2. הפרכה:
היא לא בדיוק אותו דבר, בתרגיל u ו-v התחלפו.
:באמת קצת קשה לראות את זה, יש צורך קל להדגיש את זה.
::לדעתי, ברגע שרואים שזה אותו דבר, עוברים על זה בצורה יותר יסודית, ורואים את זה אז. אבל לא חשוב, עכשיו כולם יודעים אז אין טעם בדבר.


ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
:תודה רבה רבה רבה


אני אתקן את התרגיל לשנים הבאות, תודה.


==שאלה==
בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..


לא הבנתי אותכם. יש טעות? אין טעות? אם יש מה התיקון?
===תשובה===
שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>


אין טעות, הוא רק חושב (אם הבנתי נכון) שיעזור לפעמים הבאות להדגיש יותר את השינוי.
==שאלה==
:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
:A(A^2+I)(A-2I)=0
:הוכח: A לכסינה.




נכון, אין טעות. ה-v השני הוא מימין במקום משמאל. מכיוון שאין באופן כללי תכונת סימטריות לא ברור כלל אם כאשר שמים את הv מימין זה עובד או לא.
תשובה
זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
x(x-i)(x+i)(x-2)      z
אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
וזה אם ורק אם A לכסינה


::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!


יש למישהו מכם מושג איך עושים את זה ומה התשובה בכלל?
:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..


לי יש מושג (ארז). תחשוב על המשפטים בכיתה (ובתרגיל) שמקשרים בין תבניות למטריצות, ותתרגם את השאלה ואז תנסה לפתור אותה.
==שאלה==
שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?


===תשובה===
אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.


נראה לי שעכשיו אני יודע.. השאלה היא האם לכל תבנית f אני יכול להגיד שקיים בסיס B כך ש f לפי B אלכסונית ?
תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
לא בעצם זה רק לסימטרית.. אז איך עושים את זה? שמישהו יתן רמז בבקשה, כל מי ששאלתי עד עכשיו לא יודע..


זה לתבניות כלליות, ולכן למטריצות כלליות לאו דווקא אלכסוניות. כמו שאמרתי תנסח את השאלה בצורה מטריצית ואז תנסה לפתור.


:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.


נסחתי את השאלה בצורה מטריצית. אם אני יודע שלכל u,v מתקיים:
אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)


<math>[v]^t_{B}[f]_B[u]_B\ne0 </math>,
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.


האם גם:
תודה I GUESS...


<math>[u]^t_{B}[f]_B[v]_B\ne0 </math>
==שאלה==
?
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??


*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..


:זה לא ניסוח נכון של השאלה. השאלה היא אם קיים v כך שלכל u מתקיים <math>[v]^t_{B}[f]_B[u]_B=0</math>
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
האם אותו דבר נכון לu.
::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


==שאלה בקשר לתרגיל 8==
סעיף ב'. לא חסר נתון? האם S זה הבסיס הסטנדרטי, מהו המרחב הוקטורי?


===תשובה===
::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
S תמיד הסטדנטרטי אלא אם כן נאמר במפורש אחרת. לגבי המרחב הוקטורי, נניח שהוא <math>\mathbb{R}^3</math>.
        מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:


== תרגיל 8 סעיף ב' ==  
==שאלה==
אפשר רמז או כיוון כללי? פשוט לא נגענו בנושא הזה בהרצאה או בתרגול (רשמנו בתרגול משפט שקיים B כך שהמטריצה של התבנית הבילינארית לפי B אלכסונית, אבל לא דיברנו על איך למצוא את אותו B)? תודה.
איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:


===תשובה===
נתונה מטריצה A:
למדנו בתרגול למצוא את P ולמדנו שהP הזו הינה מטריצת מעבר בין בסיסים. משני אלה אפשר למצוא את הבסיס עצמו.


====תודה====
0 0 0 5
רק חבל שלא כל הקבוצות למדו שהP הזו הינה מטריצת המעבר בין בסיסים...


0 0 4 1


אז הנה:
0 3 3 2


נניח <math>P=[I]^C_B</math> כאשר B,C בסיסים. אזי
3 6 5 4


<math>f(v,u)=[v]_B^t[f]_B[u]_B=(P[v]_C)^t[f]_BP[v]_C=[v]_C^tP^t[f]_BP[v]_C</math>
א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)


זה נכון לכל זוג וקטורים v,u ולכן נובע ש
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
תודה!


:<math>[f]_C=P^t[f]_BP</math>
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.


== שאלה ==
איפה המבחן מחר?


לפי אורי וייס
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...


אבל בשאלה מבקשים למצוא את הבסיס וככה אנחנו מוצאים רק את ההצגה של התבנית לפי הבסיס..
== שאלה ==


סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...




אבל אחרי שמצאתי את המטריצה המייצגת בבסיס B אני רוצה למצוא את הבסיס עצמו. אני צריך לעשות 9 משוואות עם 9 נעלמים? ( שלושה וקטורים שלכל אחד מהם שלוש קואורדינטות).
===תשובה===
T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
ולכן Ty גם בU+


למה אף אחד מהילדים לא עונה? איזה איגואיסטים .. מלא שאלות ורק ארז צריך לענות? מי שיודע שיענה גם הוא כשהוא לא ידע יוכל לקבל תשובה


==שאלה==
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
==תשובה==
לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.


==שאלה==
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?


בסעיף C הוקטור הנתון צריך להיות עמודה לא? כי אם לא הכפל לא יהיה מוגדר כאשר מחפשים את התבנית הריבועית..
===תשובה===
התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.


וקטור זה וקטור, לא משנה איך רושמים אותו. כאשר רוצים לכפול אותו במטריצה צריך לשים אותו בצורה מתאימה, אבל כאשר אני מתאר וקטור אין משמעות לשורה או עמודה.


====המשך====
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
שכחתם את ההגדרה של מטריצת מעבר בין בסיסים? אם חישבת את P הבסיס B הוא מיידי. הרי במקרה זה זו מטריצת מעבר בין הבסיס הסטנדרטי לבסיס B.


מטריצת מעבר בין בסיס B לבסיס C היא וקטורי הקואורדינטות של איברי הבסיס B לפי הבסיס C בעמודות.
==שאלה על התרגיל==
קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )


==שאלה לגבי תרגיל 6 בתרגיל 10==
:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
אני לא מצליח להוכיח את היחידות.


הוכחתי שקיים S צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש S^2 = T.
=תודה!!=
ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
תבוא לתרגל באינפי 2 (:


נניח שקיים R צל"ע, חיובי לחלוטין, ולא סינגולרי כל ש R^2 = T.
: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו


ברצוני להוכיח ש R = S.
:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


איך מוכיחים שיש להם אותם ע"ע ואותם מרחבים עצמיים?


מתקיים ש R^2 = S^2, האם זה אומר לי משהו על הע"ע של R ו S?
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.


כל עזרה תתקבל בברכה.
-מצטרף לתשבוחות
רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש


:חחחחחחחחחחחח גדוללל!


===תשובה===
:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
מה הקשר בין הע"ע של אופרטור לכסין, לע"ע של אופרטור לכסין בריבוע? אפילו מישהו שאל שאלה ממש דומה לזה לפני יום יומיים.


שנית, מה הקשר בין ו"ע של אופרטור לכסין לו"ע שלו בריבוע?
חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!


זה לא מסובך. פשוט תניח שv וקטור עצמי של T, מה יקרה כאשר תפעיל את T שוב?
=שאלה=
בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
מה לעשות?


: אבל זה לא מה שצריך בשביל התרגיל הזה... מה שצריך לעשות זה '''להניח''' ש v ו"ע של S שמתאים לע"ע X^2, ואז '''להוכיח''' ש V הוא ו"ע של S שמתאים לע"ע X,
===תשובה===
ולא ההיפך...
אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.


==שאלה==
היי ארז,
ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
תודה רבה!
נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


::בכל זאת אני משאיר לך לחשוב קצת.. תחשוב למה חזרתי וציינתי שהאופרטור לכסין.


::: אז בעצם אתה אומר שאפשר להוכיח את הטענה הבאה: אם S אופרטור צל"ע, חיובי לחלוטין והפיך, וv הוא וקטור עצמי של S^2 ששייך לערך עצמי X^2, אזי v הוא וקטור עצמי של S ששייך לערך עצמי X.
סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
אתה אומר שאפשר להוכיח את זה?


==שאלה 3 תרגיל 11==
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
אומרים קבע, האם צריך להוכיח שזו תבנית בילינארית או שלא?!




===תשובה===
::אחרי שהמבחנים יבדקו
מן הסתם צריך להצדיק את הקביעה שלך. נא לא להתחכם :)


:::לא מאמינים. תוכיח :)
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
==שאלה==
==שאלה==
בנוגע לשאלה 5, אבל גם שאלה די כללית:
מה מס' הקורס? :P
אם אני מוכיח ש-f(u,v) ו-g(u,v) שווים לכל שני ווקטורים u,v במרחב, האם זה מוכיח ש-f=g? 
==אמירה==
כלומר אני יכול להסתמך על זה?
יש ציונים!!!
(f,g כמובן העתקות בי"ל)
 
למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?


הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות


===תשובה===
איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
זו ההגדרה של שיוויון של פונקציות. שיוויון בכל נקודה.


:תודה
18/11


::(שואל אחר) ונניח שהגעתי לשוויון הבא:
מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
<math>[u]_{B}^{t}[f+g]_B[v]_B=[u]_{B}^t([f]_B+[g]_B)[v]_B</math>
לכל u,v, ולכל בסיס B, האם זה מספיק כדי להסיק ש:
<math>[f+g]_B=[f]_B+[g]_B</math>
?


:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


:::כן


==שאלה בנוגע לשאלה 7==
:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
למה לעשות את זה כל כך מסובך??
אי אפשר להגיד ש-f(v,v( שווה בדיוק למינוס של f(v,v( וסיימנו?


לא משנה, הבנתי, סליחה על ההטרדה.
::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
:אני לא הבנתי למה מה שאמרת לא יהיה נכון - אתה יכול להסביר :) ?
(כי אפשר להכניס סקלר)


כי זה נכון לצד אחד, אבל הרמז עוזר להוכיח את הצד הקשה יותר.
מתי הפתיחת מחברות?
(קשה יחסית..)


==שאלה בנוגע לתרגיל 6 (תרגיל 11)==
תשאלו את המרצים
אם הראתי שסכום ריבועי איברי המטריצה שווה ל-0 זה לאו דווקא אומר שכולם שווים ל-0, נכון? כי הרי מדובר בשדה F כלשהו?


==הכרזה==
יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')


===תשובה===
יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
אני מניח שאתה מתכוון לסעיף הראשון, וכן זה לא מספיק. למשל הtr של מטריצת היחידה יכול להיות 0 בשדה ממאפיין 2
הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


==תרגיל 6 בתרגיל 10- יחידות==
היי ארז,
אני (ועוד רבים אחרים) ממש נודה לך אם תפרסם רמז '''משמעותי''' לגבי איך מוכיחים את היחידות בתרגיל 6 של תרגיל 10.


הרמזים שיש כרגע פשוט לא מספיקים, ואני משוכנע שאם תנסה להוכיח זאת בעצמך בדרך מדויקת ונכונה תיווכח בקושי.
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..


אני לא רוצה לחרטט ולהמציא שום דבר, ולדעתי יהיה הרבה יותר מועיל אם נכתוב הוכחה מתמטית מדויקת עם רמז קטן מאשר שנתחיל לכתוב שטויות.
==שאלה==
מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.


תודה רבה!
===תשובה===
את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.


:מצטרפת, דרוש רמז, הוכחת היחידות לא טריוויאלית בכלל.
==הצעה==
לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.


===תשובה===
===תשובה===
ואני משוכנע, שאם תקראו את התשובות האחרות תווכחו שלמעשה ההוכחה כתובה באתר כמעט לחלוטין...
ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
 
:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
 
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
 
מתי יהיו ציונים סופיים?


:כלל לא ברור כיצד להוכיח שלכל ע"ע ישנם אותם ע"ע.
לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.


אראה לך את הדרך שלי כדי שתיווכח בבעיה.
===פתיחת מחברות===
מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


הוכחנו שקיים אופרטור S צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש S^2 = T.


נניח שקיים אופרטור R צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש R^2 = T.
אני ממליץ לשאול את בוריס :)


נרצה להוכיח ש S = R.
===לגבי מועד ב'===
אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה,  האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


נניח שהוכחנו של S ול R יש את אותם ערכים עצמיים.


נרצה כעת להוכיח שלכל ע"ע של S וR יש את אותם ע"ע עצמיים.
רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..


יהי v וקטור עצמי של R שקשור לע"ע t.
===תשובה===
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').


כלומר, <math>Rv = tv</math>
===תשובה של דר' צבאן===
לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.


לכן <math>R^2v = t^2v</math>
לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.


אבל לפי ההנחה <math>R^2 = S^2 = T</math>, לכן <math>S^2v = t^2v</math>.
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.


כיצד ניתן מפה להוכיח ש v הוא וקטור עצמי של S ששייך לערך עצמי t?
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):


http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html


===המשך===
בהצלחה,
פעם נוספת, האופרטורים '''לכסינים''' כלומר יש בסיס המורכב מו"ע שלהם. וזה גם לS וT וגם לריבועים שלהם. האם יכול להיות וקטורים עצמיים שונים לריבוע של אופרטור לכסין?


==שאלה==
ד"ר בועז צבאן
האם נוכל לראות את הבחנים? אם כן אז איך?
בנוסף, איך אני מתקן את מספר הזהות?


===תשובה===
: תודה רבה
מחר נביא את הבחנים, ועל מנת לתקן את תעודת הזהות (זה מאד חשוב) תדבר עם המתרגל/ת שלך.

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.

  ,תודה רבה.


פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-[math]\displaystyle{ degA=2 \lt = rkA=1( }[/math]

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- [math]\displaystyle{ im(T)=im(T^*) }[/math]


הוכחה

דבר ראשון נוכיח ש[math]\displaystyle{ ker(T)=ker(T^*) }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] לכן [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*Tv,u\gt =\lt 0,u\gt =0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ T^*T=TT^* }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt TT^*v,u\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*v,T^*u\gt =0 }[/math] ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן [math]\displaystyle{ \lt T^*v,T^*v\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T^*v=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ v \in ker T^* }[/math]. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt Tv,u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt v,T^*u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v \in (ImT^*)^\bot }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ kerT = (ImT^*)^\bot }[/math]. בצורה דומה [math]\displaystyle{ kerT^*=(ImT)^\bot }[/math]. אבל הגרעינים שווים ולכן [math]\displaystyle{ (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot }[/math] ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] לבסיס עבור [math]\displaystyle{ F^n }[/math] . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math] בא"נ אזי גם [math]\displaystyle{ Tv_1,..Tv_n }[/math] בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T=I }[/math]. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: [math]\displaystyle{ \lt Tv_i,Tv_j\gt =\lt v_i,T^*Tv_j\gt =\lt v_i,v_j\gt }[/math] ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.


שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ A=PJP^{-1} }[/math] נשחלף לקבל ש [math]\displaystyle{ A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t }[/math] כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס [math]\displaystyle{ v_3,v_2,v_1,v_5,v_4 }[/math].

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!


תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא [math]\displaystyle{ w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{\lt v_i,w_k\gt }{\lt w_k,w_k\gt }w_k }[/math] נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל[math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math]. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה [math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j\lt i }[/math]. אבל לפי ההנחה, הוקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math] מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

[math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =\lt v_i,w_j\gt -\frac{\lt v_i,w_j\gt }{\lt w_j,w_j\gt }\lt w_j,w_j\gt =0 }[/math] כפי שרצינו.

בנוסף, [math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math] מכיוון שאחרת [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ת"ל ב[math]\displaystyle{ v_1,...,v_{i-1} }[/math] בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} }[/math].
עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים ש[math]\displaystyle{ A^*A }[/math] הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lambda\lt v,v\gt =\lt A^*Av,v\gt =\lt Av,Av\gt \geq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \geq 0 }[/math].

כעת, נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ I+A^*A }[/math] סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר [math]\displaystyle{ |I+A^*A+0\cdot I|=0 }[/math] כלומר, [math]\displaystyle{ |A^*A-(-1)\cdot I|=0 }[/math] כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי [math]\displaystyle{ (-1)^2 }[/math] הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה


שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הינו ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A^*Av=\lambda v }[/math]

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
A(A^2+I)(A-2I)=0
הוכח: A לכסינה.


תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.


אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...


תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+


שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.


רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!
מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?


אחרי שהמבחנים יבדקו
לא מאמינים. תוכיח :)
אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה