מ |
מ (←הקדמה - הגדרות) |
||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 45: | שורה 45: | ||
=האינטגרל לפי דרבו= | =האינטגרל לפי דרבו= | ||
==הקדמה - הגדרות== | ==הקדמה - הגדרות== | ||
− | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px]] | + | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]] |
− | תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>. | + | תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>. |
לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר: | לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר: | ||
− | * שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math> | + | * שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math> |
− | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S( | + | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> |
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
שורה 59: | שורה 59: | ||
{{=|l=m(b-a) | {{=|l=m(b-a) | ||
|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | |r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | ||
− | |c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k | + | |c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>b-a=</math>, לכן: |
}} | }} | ||
{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | {{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | ||
שורה 87: | שורה 87: | ||
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | ||
− | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, | + | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}} |
שורה 112: | שורה 112: | ||
לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | ||
− | + | {{המשך סיכום|תאריך=22.2.11}} | |
כמו כן, | כמו כן, |
גרסה אחרונה מ־14:17, 12 באוגוסט 2013
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף של ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע . נחלק את הקטע:
כך שבאופן כללי (בגרף מוצג המקרה הפרטי ).
מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חוסם" שגובהו . שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" כמו כן, מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חסום" שגובהו . ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום"כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-, ז"א . הדבר נכון לכל ולכן נוכל להשאיף את ולקבל , לכן .
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: אם אז .
משפט 0
אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן . מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-.
הגדרה אינטואיטיבית: תהי רציפה בקטע . נסמן ב- את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-.
- לכל נגדיר אזי .
- אם F קדומה ל-f ב- אז .
הוכחה
- יהי x נתון. לפי ההגדרה . בגרף: השטח של החלק הירוק ו- בסיס החלק הירוק. לפיכך הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר ) .
- נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש- ולכן .
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי f מוגדרת וחסומה ע"י ו- בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של כקבוצה המקיימת: . עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות ואת הפרמטר של P להיות .
לכל k כך ש- נגדיר גם וכן . בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה , לכן: | ||||||
לכל k מתקיים . | ||||||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון" .
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- אם ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-: .
לכל k מתקיים וכן . לכן ואילו . מכאן ו-, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי f מוגדרת וחסומה ב-, תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי
(נזכיר ש- ו-)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת כך ש- עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר ו-. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע עבור כלשהו. לכן
לפי ההגדרות ולפיכךאת ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
כמו כן,
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק .
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי .
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים .
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים ולכן . כמו כן, לפי ההגדרה ו-.