(הוספת קישור לחזרה) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(21 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]] | ||
+ | |||
==טורים חיוביים== | ==טורים חיוביים== | ||
+ | טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math> , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה: | ||
+ | :<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0</math> | ||
− | + | על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף. | |
− | + | למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]]. | |
+ | ===מבחן ההשוואה הראשון=== | ||
+ | יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> | ||
− | + | :אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס. | |
+ | :אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר. | ||
− | === | + | ;הוכחה. |
− | + | נסמן את סדרות הסכומים החלקיים | |
+ | :<math>\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}</math> | ||
+ | לפי הנתון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה | ||
+ | <math>\displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math> כלשהוא. | ||
− | :: | + | אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן |
+ | :<math>\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math> | ||
+ | כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס. | ||
− | : | + | החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math> . |
− | ===מבחן | + | ===מבחן ההשוואה הגבולי=== |
− | + | יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math> | |
+ | :אם <math>L=0</math> | ||
+ | ::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס | ||
− | ::אם <math>\ | + | ::אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר |
− | + | :אם <math>L\ne0</math> | |
+ | :הטורים '''חברים''' כלומר מתכנסים או מתבדרים '''יחדיו''' (במתמטיקה: <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס) | ||
− | + | ===מבחן דלאמבר/המנה=== | |
+ | יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. | ||
+ | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> הטור מתכנס | ||
− | + | :אם <math>\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) | |
− | + | ||
− | + | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת | |
+ | ::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה) | ||
− | + | ===מבחן השורש של קושי=== | |
+ | יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. | ||
+ | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס | ||
− | + | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר (כולל אינסוף) | |
+ | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת | ||
+ | ::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה) | ||
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי''' | שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי''' | ||
+ | :<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math> | ||
+ | |||
+ | שכן '''גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1'''. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ===מבחן העיבוי=== | ||
+ | תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0'''. | ||
+ | :הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים) | ||
+ | |||
+ | כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2. | ||
+ | |||
+ | ===מבחן ראבה=== | ||
+ | יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1</math> הטור מתכנס | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1</math> הטור מתבדר | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1</math> לא ניתן לדעת | ||
+ | |||
+ | ===מבחן לוגריתמי=== | ||
+ | יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}<1</math> הטור מתבדר | ||
+ | :אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת | ||
+ | |||
+ | הערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1. | ||
+ | |||
+ | ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font> | ||
+ | קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)}</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ;פתרון. | ||
+ | כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln(n)}</math> חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: | ||
+ | |||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</math> | ||
+ | |||
+ | נזכור כי <math>\ln(2^n)=n\ln(2)</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math> | ||
+ | |||
+ | אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר. | ||
+ | |||
+ | לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font> | ||
+ | קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | ;פתרון. | ||
+ | כיון שהסדרה <math>\dfrac1{n\ln^2(n)}</math> חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס: | ||
+ | |||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}</math> | ||
+ | |||
+ | בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים: | ||
+ | |||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math> | ||
+ | |||
+ | אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''. | ||
+ | |||
− | + | ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font> | |
+ | קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס. | ||
− | + | ;פתרון. | |
+ | הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור: | ||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n</math> | ||
− | + | זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math> . |
גרסה אחרונה מ־08:52, 14 בפברואר 2017
טורים חיוביים
טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות הדוגמאות האלו.
מבחן ההשוואה הראשון
יהיו טורים חיוביים כך ש-
- אם
מתכנס אזי גם
מתכנס.
- אם
מתבדר אזי גם
מתבדר.
- הוכחה.
נסמן את סדרות הסכומים החלקיים
לפי הנתון הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה
עבור
כלשהוא.
אבל , ולכן
כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה, ולכן הטור מתכנס.
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: .
מבחן ההשוואה הגבולי
יהיו טורים חיוביים כך ש-
- אם
- אם
מתכנס אזי גם
מתכנס
- אם
- אם
מתבדר אזי גם
מתבדר
- אם
- אם
- הטורים חברים כלומר מתכנסים או מתבדרים יחדיו (במתמטיקה:
מתכנס אם"ם
מתכנס)
מבחן דלאמבר/המנה
יהי טור חיובי.
- אם
הטור מתכנס
- אם
הטור מתבדר (כולל אינסוף)
- אם
לא ניתן לדעת
- (הטורים
מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
- (הטורים
מבחן השורש של קושי
יהי טור חיובי.
- אם
הטור מתכנס
- אם
הטור מתבדר (כולל אינסוף)
- אם
לא ניתן לדעת
- (הטורים
מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
- (הטורים
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים לא מספיק להוכיח כי
או
שכן גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.
מבחן העיבוי
תהי סדרה חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0.
- הטור
מתכנס אם"ם הטור
מתכנס (הם חברים)
כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
מבחן ראבה
יהי טור חיובי.
- אם
הטור מתכנס
- אם
הטור מתבדר
- אם
לא ניתן לדעת
מבחן לוגריתמי
יהי טור חיובי.
- אם
הטור מתכנס
- אם
הטור מתבדר
- אם
לא ניתן לדעת
הערה: שימו לב כי אם אז לא בהכרח מתקיים
; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.
- דוגמא.
קבע האם הטור מתכנס.
- פתרון.
כיון שהסדרה חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
נזכור כי ולכן
אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.
לכן סה"כ הטור מתבדר.
- דוגמא.
קבע האם הטור מתכנס.
- פתרון.
כיון שהסדרה חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס
ולכן סה"כ הטור מתכנס.
- דוגמא.
קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור מתכנס.
- פתרון.
הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:
זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם וזה נכון אם"ם
כלומר
.