(יצירת דף עם התוכן "<math>A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}</math> <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x & -1 &0 & 0\...") |
|||
(9 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | <math>A=\begin{pmatrix} | + | [[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]] |
+ | |||
+ | ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | A=\begin{pmatrix} | ||
0 & 1 &0 & 0\\ | 0 & 1 &0 & 0\\ | ||
0& 0 &0 &0 \\ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
0 & 0 & 0&1 \\ | 0 & 0 & 0&1 \\ | ||
0& 0 &0 &0 \\ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
− | \end{pmatrix}</math> | + | \end{pmatrix} = \left( |
+ | \begin{array}{cc} | ||
+ | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} & \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} | ||
+ | \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0), | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ואילו | ||
+ | <math>B=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 &0 & 0\\ | ||
+ | 0& 0 &1 &0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0&0 \\ | ||
+ | 0& 0 &0 &0 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = \left( | ||
+ | \begin{array}{cc} | ||
+ | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} & 0 | ||
+ | \end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0), | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן '''אינן דומות.''' | ||
+ | |||
+ | נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-<math>\ A^2 = 0</math> בעוד ש-<math>\ B^2 \neq 0</math>. לכן הן אינן יכולות להיות דומות. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>, | ||
+ | כאשר <math>V</math> המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A (<math>\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v</math>) | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>. | ||
+ | |||
+ | ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2. | ||
+ | |||
+ | כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | |||
+ | לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>. | ||
+ | |||
+ | ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2. | ||
+ | |||
+ | כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו. | ||
+ | |||
+ | לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>. | ||
+ | |||
+ | (ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט) | ||
+ | |||
+ | |||
− | <math> | + | לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>. |
− | + | '''מש"ל!''' | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + |
גרסה אחרונה מ־23:46, 8 בינואר 2012
ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן:
ואילו
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.
נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש- בעוד ש-. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.
סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים , כאשר המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A ()
ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
באופן דומה עבור , מתקיים , ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)
לסיכום, קיבלנו . מש"ל!