(יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש== פונקציה רציפה ...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש== | ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש== | ||
− | פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש | + | פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש. |
==הוכחה== | ==הוכחה== | ||
+ | תהי <math>f</math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math> . נניח בשלילה שהיא '''לא'''-רציפה שם במ"ש. לכן קיים <math>\epsilon>0</math> , כך שלכל <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות | ||
+ | :<math>x_n,y_n</math> | ||
+ | כך שמתקיים | ||
+ | :<math>x_n-y_n\to 0</math> | ||
+ | אבל | ||
+ | :<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon</math> | ||
+ | לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה). | ||
+ | |||
+ | בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים: | ||
+ | :<math>x'_n-y'_n\to 0</math> | ||
+ | :<math>\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon</math> | ||
+ | אבל '''כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות, | ||
+ | :<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math> | ||
+ | בסתירה. <math>\blacksquare</math> | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־20:06, 17 באוגוסט 2016
משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש
פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.
הוכחה
תהי רציפה על קטע סגור וסופי . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים , כך שלכל יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
כך שמתקיים
אבל
לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- תת-סדרה מתכנסת (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
בנוסף, לתת הסדרה יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:
אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,
בסתירה.