(←שאלה 3) |
(←שאלה 5) |
||
(11 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | ==שאלה 1 == | + | [[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]] |
+ | ==שאלה 1== | ||
+ | א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה. | ||
− | + | ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> . | |
− | + | ||
− | ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> | + | |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ: | ||
+ | :<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> : | ||
+ | :<math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math> | ||
− | + | קל לראות כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> , אבל לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> . | |
− | ::<math>a_n=1,1, | + | '''הפרכה נוספת''': ניקח את הסדרה הבאה |
+ | :<math>a_n=1,3,1,3,1,3,\ldots</math> | ||
+ | מתקיים | ||
+ | :<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math> | ||
− | + | ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]3\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]1\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> . | |
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
− | נניח כי f פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math>, גזירה ב- <math>(0,\infty)</math>. בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math>מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>. | + | נניח כי <math>f</math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math> , גזירה ב- <math>(0,\infty)</math> . בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> . |
− | א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ | + | א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math> . |
− | ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math>. | + | ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> . |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט | + | א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה <math>f</math> בקטע <math>[0,x]</math> . לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש: |
− | + | :<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים: | אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים: | ||
− | + | :<math>f'(x)\ge f'(c)=\dfrac{f(x)}{x}</math> | |
− | + | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |
− | + | ||
− | כפי שרצינו. | + | |
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה | ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה | ||
+ | :<math>g'(x)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math> | ||
− | ::<math> | + | כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א': |
+ | :<math>x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\dfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math> | ||
− | + | ==שאלה 3== | |
+ | קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו: | ||
+ | א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math> | ||
− | + | ב. <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math> , כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math> | |
+ | ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]</math> | ||
− | + | ד. <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}\right]</math> | |
− | + | ||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | א. נפעיל את משפט הסנדוויץ': | ||
+ | :<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math> | ||
− | + | ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים <math>\sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי <math>0</math> , ולכן מתכנסת. | |
+ | <math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> . | ||
− | + | אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)=0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה. | |
− | ג. <math>\ | + | ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|\le|x-y|</math> לכן, |
+ | :<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math> | ||
− | |||
+ | ד. | ||
+ | :<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math> | ||
+ | נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת: | ||
+ | :<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math> | ||
+ | שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת: | ||
+ | :<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math> | ||
+ | ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי. | ||
− | == | + | ==שאלה 4== |
+ | תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)</math> | ||
− | א. | + | א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>? |
− | + | ב. האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>? | |
+ | ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math> | ||
− | + | ===פתרון=== | |
+ | א.<br> | ||
+ | נבחן את הנגזרת בקטע: | ||
+ | <math>f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\infty)</math>. | ||
− | + | כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0,1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס). | |
− | + | בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע. | |
− | |||
− | + | ב.<br> | |
+ | ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי: | ||
+ | :<math>|x_n-y_n|\to0</math> | ||
− | + | :<math>\Big|f'(x_n)-f'(y_n)\Big|\to1</math> | |
− | + | ולכן <math>f'</math> אינה רציפה במ"ש בקטע. | |
− | |||
+ | ג.<br> | ||
+ | ;הפרכה | ||
+ | <math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>. | ||
− | + | הפרכה נוספת: | |
− | + | <math>x\cdot\sin\left(\tfrac1x\right)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע. | |
− | + | ==שאלה 5== | |
+ | עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי: | ||
− | + | א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math> | |
− | + | ב. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math> | |
− | + | ג. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math> | |
+ | ד. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math> | ||
− | + | ===פתרון=== | |
+ | א. | ||
− | = | + | <math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> |
− | + | לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים | |
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)\ ,\ \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math> | ||
+ | חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. | ||
+ | כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ. | ||
− | |||
+ | ב.<br> | ||
+ | ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן | ||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math> | ||
+ | ולכן הטור מתכנס בהחלט. | ||
− | |||
+ | ג.<br> | ||
+ | בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר | ||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> . | ||
− | |||
− | + | ד.<br> | |
− | === | + | נפעיל את מבחן המנה לקבלת: |
+ | :<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math> | ||
+ | ולכן הטור מתכנס בהחלט. |
גרסה אחרונה מ־08:18, 15 בינואר 2021
שאלה 1
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.
ב. הוכח/הפרך: אם אזי
.
פתרון
א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה כך שלכל
מתקיים
ולכן
. סה"כ:
ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה , ובמקומות האי-זוגיים
:
קל לראות כי , אבל לא קיים הגבול
.
הפרכה נוספת: ניקח את הסדרה הבאה
מתקיים
ולכן לא מתכנס. אבל וכמובן גם
ולכן סה"כ
.
שאלה 2
נניח כי פונקציה רציפה ב-
, גזירה ב-
. בנוסף נתון כי
והנגזרת
מונוטונית עולה ב-
.
א. הוכיחו כי ב-
.
ב. הוכיחו כי הפונקציה מונוטונית עולה ב-
.
פתרון
א. יהי . נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה
בקטע
. לכן קיימת נקודה
כך ש:
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
כפי שרצינו.
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
שאלה 3
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:
א.
ב. , כאשר
ג.
ד.
פתרון
א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':
ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי
, ולכן מתכנסת.
ולכן
.
אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה הקטן מ-
, אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין
ל-
(לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.
ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי לכן,
ד.
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.
שאלה 4
תהי
א. האם רציפה במ"ש בתחום
?
ב. האם רציפה במ"ש בתחום
?
ג. הוכח/הפרך: אם גזירה ורציפה במ"ש ב-
אזי נגזרתה
חסומה ב-
פתרון
א.
נבחן את הנגזרת בקטע:
. כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע
.
כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).
בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.
ב.
ניקח את שתי הסדרות , ו-
. קל לוודא כי:
ולכן אינה רציפה במ"ש בקטע.
ג.
- הפרכה
רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה
אינה חסומה בסביבת
.
הפרכה נוספת:
בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
שאלה 5
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:
א.
ב.
ג.
ד.
פתרון
א.
לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.
כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור , ושואפת שמה ל-
, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.
ב.
ברור שהחל מ- מתקיים
ולכן
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
ג.
בכל מקום זוגי ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר
.
ד.
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:
ולכן הטור מתכנס בהחלט.