(←ב) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=המבחן של פרופ' זלצמן= | =המבחן של פרופ' זלצמן= | ||
==שאלה 1== | ==שאלה 1== | ||
− | הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה <math>a_{ | + | הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> יש-תת סדרה מתכנסת. |
− | + | ;הפרכה | |
− | כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, | + | כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל <math>a_n=(-1)^n</math>) |
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
שורה 11: | שורה 11: | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}</math> |
− | נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, | + | נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת: |
− | <math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\ | + | <math>b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}</math> |
− | קל לראות | + | קל לראות כי <math>\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty</math> ולכן <math>b_n\to\infty</math> . לכן <math>|a_n|\to\infty</math> ולכן הטור '''מתבדר לחלוטין'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}</math> |
− | נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות | + | נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי |
− | <math>\ | + | <math>\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1</math> |
− | ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת | + | ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0): |
− | <math>\ | + | <math>\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}</math> |
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''. | זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור '''מתכנס בהחלט'''. | ||
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}</math> |
− | נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל <math>|\ | + | נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל |
+ | |||
+ | <math>\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1</math> | ||
ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''. | ולכן הטור '''מתכנס בהחלט'''. | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
− | זהה וסווג את נקודות אי הרציפות | + | זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות. |
===א=== | ===א=== | ||
− | <math>e^{-\ | + | <math>e^{-\frac1{x^3}}</math> |
− | נקודת אי הרציפות היא | + | נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו <math>\infty</math> ולכן זה '''מין שני'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\frac{sin(x^2)}{|sin(x^2)|}</math> | + | <math>\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}</math> |
− | כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת | + | כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר <math>\sin(x^2)</math> חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k\ge0</math> . פרט ל-0, הן כולן '''מין ראשון''' מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה). |
− | + | ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''. | |
===ג=== | ===ג=== | ||
<math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math> | <math>f'(x)</math> כאשר <math>f(x)=|x^2-1|</math> | ||
− | נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1,x<-1</math> | + | נחלק לתחומים. בתחום <math>x>1\ ,\ x<-1</math> מתקיים <math>f(x)=x^2-1</math> ולכן <math>f'(x)=2x</math> . |
− | בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>. | + | בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math> . |
− | קל | + | קל אפוא לראות שבנקודות <math>\pm1</math> יש אי-רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני). |
==שאלה 5== | ==שאלה 5== | ||
שורה 68: | שורה 70: | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | <math> | + | <math>x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> . |
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע: | קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע: | ||
− | <math>\lim_{x\ | + | <math>\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0</math> אפס כפול חסומה |
− | <math>\lim_{x\ | + | <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0</math> |
− | שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש''' | + | שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\dfrac1{1+\ln(x)}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math> . |
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם. | קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם. | ||
− | |||
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>\sqrt{|cos(\pi x)|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> | + | <math>\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|}</math> בתחום <math>(-\infty,\infty)</math> . |
− | זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום. | + | זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: <math>\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x</math> ולכן '''רציפה במ"ש''' בתחום. |
==שאלה 7== | ==שאלה 7== | ||
− | חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב<math>x_0=2</math>. | + | חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב- <math>x_0=2</math> . |
+ | |||
+ | הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באזור הנקודה <math>x_0</math> , הנו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math> | ||
− | + | במקרה שלנו | |
− | + | <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= | |
+ | \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}</math> | ||
− | ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{ | + | ולכן סה"כ <math>h(x)=7-\frac{x-2}{7}</math> |
=המבחן של דר' שמחה הורוביץ= | =המבחן של דר' שמחה הורוביץ= | ||
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
− | תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1). נניח שקיים | + | תהי <math>g</math> פונקציה רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . נניח שקיים <math>\varepsilon>0</math> כך שמתקיים <math>g(x)>\varepsilon</math> לכל <math>x\in(0,1)</math> . הוכח שהפונקציה <math>\dfrac1g</math> רציפה במ"ש בקטע <math>(0,1)</math> . |
− | + | ;הוכחה | |
− | לפי הנתון, לכל | + | לפי הנתון, לכל <math>\alpha>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x_1-x_2|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2</math> . |
− | לכן, מתקיים | + | לכן, מתקיים <math>\left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha</math> |
− | כפי שרצינו. | + | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> |
==שאלה 6== | ==שאלה 6== | ||
− | תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש <math>f(0)=f'(0)= | + | תהי <math>f</math> פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- <math>f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>f^{(5)}(0)>0</math> . עוד נניח שלכל <math>x\ne 0</math> מתקיים <math>f'(x)\ne 0</math> . הוכיחו שלכל <math>x>0</math> מתקיים <math>f(x)>0</math> . |
− | + | ;הוכחה | |
− | + | מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה <math>x=0</math> שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה <math>\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5</math> כאשר <math>0<c<x</math> . | |
− | <math>\ | + | |
− | + | מכיון ש- <math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה <math>f^{(5)}>0</math> . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים <math>f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math> . | |
− | נותר להוכיח | + | נותר להוכיח כי <math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי <math>f(x)\le0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור <math>x>0</math> כלשהוא. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה. |
גרסה אחרונה מ־15:44, 12 בפברואר 2017
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
הוכח/הפרך: הסדרה מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה
יש-תת סדרה מתכנסת.
- הפרכה
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל )
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
קל לראות כי ולכן
. לכן
ולכן הטור מתבדר לחלוטין.
ב
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
ג
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 4
זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
א
נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו ולכן זה מין שני.
ב
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן
כאשר
. פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.
ג
כאשר
נחלק לתחומים. בתחום מתקיים
ולכן
.
בתחום מתקיים
ולכן
.
קל אפוא לראות שבנקודות יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).
שאלה 5
אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?
א
בתחום
.
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
אפס כפול חסומה
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בתחום
.
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.
ג
בתחום
.
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: ולכן רציפה במ"ש בתחום.
שאלה 7
חשב את הקירוב הלינארי של ב-
.
הקירוב הלינארי של באזור הנקודה
, הנו
במקרה שלנו
ולכן סה"כ
המבחן של דר' שמחה הורוביץ
שאלה 3
תהי פונקציה רציפה במ"ש בקטע
. נניח שקיים
כך שמתקיים
לכל
. הוכח שהפונקציה
רציפה במ"ש בקטע
.
- הוכחה
לפי הנתון, לכל קיים
כך שאם
מתקיים
.
לכן, מתקיים
כפי שרצינו.
שאלה 6
תהי פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש-
וגם
. עוד נניח שלכל
מתקיים
. הוכיחו שלכל
מתקיים
.
- הוכחה
מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה
כאשר
.
מכיון ש- והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה
. לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים
.
נותר להוכיח כי עבור
גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי
אזי לפי משפט ערך הביניים
עבור
כלשהוא. אבל גם
ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.