יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
|||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | ||
− | *<math>\ | + | *<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math> |
+ | ;פתרון. | ||
+ | [[המספר e#דוגמאות|נשים לב]] כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math> | ||
− | + | ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math> | |
+ | ולכן הטור חבר של <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> ולכן מתכנס. | ||
− | |||
− | <math> | + | ;פתרון ישן |
− | + | נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאברי המכפלה <math>1\cdot2\cdot3\cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math> . | |
− | + | נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- <math>\frac{n}{3}</math>, ומכיוון שיש לפחות <math>\frac23n</math> כאלה נקבל ש- | |
− | + | <math>n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac23n}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
+ | (נניח <math>n>2</math> , קל לבדוק את <math>n=1,2</math>) | ||
+ | נעלה בריבוע ונקבל כי | ||
+ | :<math>(n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}</math> | ||
ולכן | ולכן | ||
− | + | :<math>\dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}</math> | |
− | + | ||
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''') | אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי '''מבחן ההשוואה הגבולי''') | ||
− | + | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | :<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43}</math> (ידוע כי טור זה מתכנס) | ||
וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''. | וביחד הטור '''מתכנס''' לפי '''מבחן ההשוואה הראשון'''. |
גרסה אחרונה מ־00:06, 15 בפברואר 2017
- פתרון.
נשים לב כי
ולכן
ולכן הטור חבר של ולכן מתכנס.
- פתרון ישן
נשים לב כי לפחות שני שלישים מאברי המכפלה גדולים מהמספר .
נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- , ומכיוון שיש לפחות כאלה נקבל ש-
(נניח , קל לבדוק את )
נעלה בריבוע ונקבל כי
ולכן
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)
- (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.