(←הרצאה 2 (6/3/12)) |
|||
(9 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 57: | שורה 57: | ||
3) <math>\int x^{2}lnxdx</math> | 3) <math>\int x^{2}lnxdx</math> | ||
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה. | :לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה. | ||
+ | :אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math> | ||
+ | :<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math> | ||
+ | 4) <math>\int lnxdx</math> | ||
+ | :נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math> | ||
+ | :<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math> | ||
+ | |||
+ | 5) <math>\int e^{x}cosxdx</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math> | ||
+ | :<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math> | ||
+ | :נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math> | ||
+ | :<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math> | ||
+ | ::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math> | ||
+ | ::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math> | ||
+ | ::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math> | ||
+ | |||
+ | 6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math> | ||
+ | : <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math> | ||
+ | ::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר: | ||
<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big> | <big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big> | ||
שורה 68: | שורה 87: | ||
<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!) | <math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק. | ||
+ | ''' |
גרסה אחרונה מ־20:38, 18 במרץ 2012
הרצאה 2 (6/3/12)
שני כללים פשוטים:
1) .
2) . (עבור
קבוע)
דוגמאות
1)
2)
3)
4)
- דרך נוספת:
- התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)
5)
6)
אינטגרציה בחלקים:
נתחיל בנוסחה הידועה , לכן:
לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:
דוגמאות
1)
- נבחר
ו
2)
- נבחר
ו
- נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר:
ו
- ולכן התוצאה הסופית
3)
- לא מומלץ לבחור
ו
, כי מיד נצטרך למצוא את
שהיא הפונקציה הקדומה של
, ועוד לא חישבנו אותה.
- אלא שנכתוב:
ו
4)
- נבחר
ו
5)
- נבחר
ו
- נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר:
ו
- קיבלנו:
- נעביר אגף ונקבל:
- ולכן התשובה הסופית היא:
- קיבלנו:
6)
- נבחר
ו
-
- נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:
שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)
נתחיל עם כלל השרשרת: .
לכן אם קדומה ל-
:
ומזה נובע:
.
כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון נסמן
ולכן
. פעולה פורמלית:
. כעת נציב את מה שסימנו:
(לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את
!!!)
למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.