לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
(27 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | [[קטגוריה:אינפי]] | |
− | == המשפט == | + | ==המשפט== |
− | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \ | + | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> . נגדיר גם: |
+ | <math>\forall x\in[a,b]:A(x):=\displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt</math> . אזי מתקיים: | ||
א) <math>A(x)</math> רציפה. | א) <math>A(x)</math> רציפה. | ||
− | ב)לכל <math> | + | ב) לכל <math>x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> . |
− | ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\ | + | ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math> , ו- <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>. |
− | + | ==הוכחה== | |
− | + | ||
− | == הוכחה == | + | |
=== סעיף א'=== | === סעיף א'=== | ||
− | נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\ | + | נקח <math>x\in [a,b]</math> כלשהו ו- <math>\Delta x</math> "קטן" כך ש- <math>x+\Delta x\in[a,b]</math> . לפי הגדרה: <math>A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt</math> ולכן |
− | <math> | + | <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. נתון ש- <math>f</math> חסומה, נגיד <math>f(x)\le M </math> . |
− | נתון ש-f חסומה, נגיד <math> | + | |
− | לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\ | + | לכן מתקיים <math>\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x|</math> . |
− | כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . | + | כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math> , אגף ימין שואף ל-0 . |
לכן: | לכן: | ||
− | <math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> | + | <math>\lim_{\Delta x\to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0</math> ומכך נובע ש: |
− | <math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות, | + | <math>\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות, |
− | <math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>. | + | <math>\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)</math> . |
− | <math>\blacksquare </math> | + | <math>\blacksquare</math> |
=== סעיף ב'=== | === סעיף ב'=== | ||
− | כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math> | + | כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math> . נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math> . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח: |
+ | |||
+ | <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)</math> | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0)</math> . | ||
+ | |||
+ | נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x</math> ולכן | ||
+ | <math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math> . | ||
+ | |||
+ | כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0</math> | ||
+ | |||
+ | יהי <math>\epsilon>0</math> . כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math> , לכן לכל t כזה: <math>|t-x_0|\le|\Delta x|<\delta</math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon</math> . | ||
+ | |||
+ | מכאן ש- <math>\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math> | ||
+ | |||
+ | אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x|\epsilon</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|<\frac{1}{|\Delta x|}\cdot\epsilon|\Delta x|=\epsilon</math> . | ||
+ | |||
+ | ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math> , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math> , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math> , מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math> . | ||
+ | |||
+ | <math>\blacksquare</math> | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ג' === | ||
+ | ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math> , ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> . נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math> , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו. | ||
+ | |||
+ | לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-\displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן בסך הכל: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math> . | ||
+ | |||
+ | <math>\blacksquare</math> |
גרסה אחרונה מ־12:37, 4 בנובמבר 2016
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב) לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-
פונקציה קדומה של
, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
. נתון ש-
חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה: נוכיח כי .
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . כיון ש-
רציפה, קיים
כך שאם
אז
. כעת נניח
, לכן לכל t כזה:
כך ש-
.
מכאן ש-
אבל ולכן
.
ולכן הגבול אכן שואף ל- , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-
, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-
, מכאן נובע
.
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל
, ולכן ע"פ סעיף ב',
פונקציה קדומה של
. נתון גם כי
פונקציה קדומה של
, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים
עבור
כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל: .