(יצירת דף עם התוכן "איך פותרים את תרגיל 4 ??") |
|||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
איך פותרים את תרגיל 4 ?? | איך פותרים את תרגיל 4 ?? | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש: | ||
+ | <math>g_{n}(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})</math> | ||
+ | |||
+ | נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום <math>[0,\frac{n-1}{n}]</math>, ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים. | ||
+ | |||
+ | נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו): | ||
+ | <math>X=\left \{ g_{n}(\frac{i}{n}):0\leq i\leq n-1 \right \}</math> | ||
+ | |||
+ | נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה <math>g_{n}(x)</math> עם סימנים מנוגדים. | ||
+ | |||
+ | נבחין כי: | ||
+ | |||
+ | <math>g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})</math> | ||
+ | |||
+ | וכן כי מתקיים: <math>\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0)</math> | ||
+ | |||
+ | לפי משפט ערך הביניים קיים <math>c\in [0,\frac{n-1}{n}]</math> כך שמתקיים: | ||
+ | |||
+ | <math>g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של <math>g_{n}(0)</math> ושל <math>g_{n}(c)</math> שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תודה''', אכזרי ביותר. |
גרסה אחרונה מ־13:40, 9 באפריל 2012
איך פותרים את תרגיל 4 ??
פתרון: נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש:
נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום , ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים.
נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו):
נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה עם סימנים מנוגדים.
נבחין כי:
וכן כי מתקיים:
לפי משפט ערך הביניים קיים כך שמתקיים:
בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של ושל שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.
תודה, אכזרי ביותר.