(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== ===א=== תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע <math>[a,b]</math>. '''הוכח/הפרך''': f אינטגרב...") |
(←שאלה 5) |
||
(8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 6: | שורה 6: | ||
תהי <math>A\subseteq [0,1]</math> כך ש <math>|A|=\aleph_0</math>. תהיי | תהי <math>A\subseteq [0,1]</math> כך ש <math>|A|=\aleph_0</math>. תהיי | ||
− | ::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin | + | ::<math>f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases}</math> |
הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> '''או''' הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע. | הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> '''או''' הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע. | ||
שורה 15: | שורה 15: | ||
===ד=== | ===ד=== | ||
תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע <math>[a,b]</math> כך ש <math>\int_a^b{f(x)dx}=0</math>. '''הוכח/הפרך''': <math>f\equiv 0</math> בקטע | תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע <math>[a,b]</math> כך ש <math>\int_a^b{f(x)dx}=0</math>. '''הוכח/הפרך''': <math>f\equiv 0</math> בקטע | ||
+ | |||
+ | ===ה=== | ||
+ | תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים <math>\int_a^b{f(x)g(x)dx}=0</math> '''הוכח/הפרך''': <math>f\equiv 0</math> בקטע | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 2== | ||
+ | ===א=== | ||
+ | הוכיחו כי קיים גבול לסדרה | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big)</math> | ||
+ | ===ב=== | ||
+ | חשבו את גבול הסדרה | ||
+ | |||
+ | ::<math>b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}}</math> | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 3== | ||
+ | חשבו את האינטגרלים הבאים: | ||
+ | ===א=== | ||
+ | <math>\int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | <math>\int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
+ | <math>\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt</math> כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות. | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 4== | ||
+ | תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע '''הפתוח''' <math>(a,b)</math> עבורה מתקיים | ||
+ | ::<math>f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx</math> | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 5== | ||
+ | תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי | ||
+ | |||
+ | ::<math>\lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0</math> |
גרסה אחרונה מ־18:30, 15 באפריל 2012
שאלה 1
א
תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע . הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.
ב
תהי כך ש . תהיי
הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.
ג
תהי f פונקציה אי שלילית בקטע כך ש . הוכח/הפרך: בקטע
ד
תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע כך ש . הוכח/הפרך: בקטע
ה
תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים הוכח/הפרך: בקטע
שאלה 2
א
הוכיחו כי קיים גבול לסדרה
ב
חשבו את גבול הסדרה
שאלה 3
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
ב
ג
כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.
שאלה 4
תהי f פונקציה רציפה בקטע . הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע הפתוח עבורה מתקיים
שאלה 5
תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי