איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה <math>\mathbb{Z}_p</math> (נזכור ש <math>p</math> חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים ...") |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←כמה מושגים בתורת המספרים) |
||
(14 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה <math>\mathbb{Z}_p</math> (נזכור ש <math>p</math> חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה. | כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה <math>\mathbb{Z}_p</math> (נזכור ש <math>p</math> חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה. | ||
− | שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י | + | שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י מעבר על כל האפשרויות, |
אם <math>a\in \mathbb{Z}_p</math> אז יש <math>p</math> איברים שיכולים להיות הופכי: <math>\{0,1,\ldots,p-1\}</math> | אם <math>a\in \mathbb{Z}_p</math> אז יש <math>p</math> איברים שיכולים להיות הופכי: <math>\{0,1,\ldots,p-1\}</math> | ||
שורה 9: | שורה 9: | ||
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות. | שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות. | ||
+ | |||
+ | כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math> נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים. | ||
+ | |||
+ | == כמה מושגים בתורת המספרים == | ||
+ | '''הגדרה''': יהיו <math>a,b\in \mathbb{Z}</math> אומרים ש <math>a</math> מחלק את <math>b</math> (ומסמנים <math>a|b</math>) | ||
+ | אם קיים <math>c\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>ac=b</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרה''': יהיו <math>a,b\in \mathbb{Z}</math> המחלק המשותף המירבי של <math>a,b</math> (מסומן <math>gcd(a,b)</math>) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את <math>a</math> וגם את <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>gcd(a,b)=max\{g\in \mathbb{Z}\mid g|a\quad g|b\}</math> | ||
+ | |||
+ | ההגדרה הזאת בעייתית כאשר <math>a=b=0</math> במצב זה אומרים ש <math>gcd(0,0)=0</math>. | ||
+ | |||
+ | נשים לב שאם <math>p</math> מספר ראשוני ו <math>1\leq a\leq p-1</math> אז <math>gcd(a,p)=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''משפט''': יהיו <math>a,b\in \mathbb{Z}</math> ו <math>g=gcd(a,b)</math> אזי קיימים <math>m,n\in\mathbb{Z}</math> כך ש <math>na+mb=g</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>, כי אם <math>0\neq a\in\mathbb{Z}_p</math> אז | ||
+ | <math>gcd(a,p)=1</math> לכן קיימים <math>m,n</math> כך ש <math>na+mp=1</math>. | ||
+ | |||
+ | אם נפעיל <math>mod~p</math> על שני צידי המשוואה הזאת נקבל | ||
+ | <math>(na+mp)mod~p = 1mod~p</math> | ||
+ | שהופך ל <math>(na)mod~p = 1</math> | ||
+ | לכן <math>n~mod~p</math> הוא הופכי מתאים ל <math>a</math>. | ||
+ | |||
+ | כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את <math>n</math>? | ||
+ | |||
+ | == חישוב ההופכי == | ||
+ | |||
+ | עבור שני מספרים <math>a,b \in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>gcd(a,b)=1</math> | ||
+ | נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים <math>n,m</math> כך ש <math>na+mb=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * נתחיל מהמקרה <math>a,b>0</math> | ||
+ | |||
+ | נניח ש <math>b>a</math>, נסמן <math>r_1=b \quad r_2 = a</math>. | ||
+ | |||
+ | (אם <math>a>b</math> אז נסמן הפוך) | ||
+ | |||
+ | נחפש את המספר <math>q_2\in \mathbb{N}</math> הגדול ביותר כך ש <math>r_1-q_2r_2>0</math>. | ||
+ | |||
+ | ונסמן <math>r_1-q_2r_2 = r_3</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת נחפש את המספר הגדול ביותר <math>q_3\in \mathbb{N}</math> כך ש <math>r_2-q_3r_3>0</math> | ||
+ | |||
+ | ונסמן <math>r_2-q_3r_3 = r_4</math>. | ||
+ | |||
+ | נמשיך כך עד שנגיע לשלב <math>k</math> שבו <math>r_k=1</math>. | ||
+ | |||
+ | (היות ו <math>gcd(a,b)=1</math> מובטח לנו שנגיע מתישהוא ל <math>1</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | עד כאן החלק הקל, | ||
+ | עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | השלב האחרון שהגענו אליו היה | ||
+ | |||
+ | <math>r_{k-2}-q_{k-1}r_{k-1} = r_k = 1</math> | ||
+ | |||
+ | אבל בשלב הקודם קיבלנו ש <math>r_{k-3} - q_{k-2}r_{k-2} = r_{k-1}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן אפשר להציב | ||
+ | |||
+ | <math>r_{k-2}-q_{k-1}(r_{k-3} - q_{k-2}r_{k-2}) = 1</math> | ||
+ | |||
+ | שהופך ל: | ||
+ | <math>(1+q_{k-1}q_{k-2})r_{k-2}-q_{k-1}r_{k-3} = 1</math> <math>(\ast)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש | ||
+ | <math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3} =r_{k-2}</math> | ||
+ | |||
+ | ואפשר להציב את <math>r_{k-4} - q_{k-3}r_{k-3}</math> ב <math>r_{k-2}</math> | ||
+ | שמופיע בביטוי <math>(\ast)</math> ולקבל ביטוי מהצורה | ||
+ | |||
+ | <math>xr_{k-4}+yr_{k-3}=1</math> | ||
+ | עבור <math>x,y</math> כלשהם | ||
+ | |||
+ | וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה | ||
+ | <math>mr_1+nr_2=1</math> | ||
+ | |||
+ | שזה בדיוק | ||
+ | <math>mb+na=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * אם <math>b<0</math> או <math>a<0</math> אז מוצאים <math>n',m'</math> מתאימים עבור <math>|a|,|b|</math> בשיטה שתוארה קודם | ||
+ | |||
+ | ואז <math>n'|a|+m'|b|=1</math> ואז | ||
+ | |||
+ | אם <math>a<0</math> לוקחים <math>n=-n'</math> (אחרת <math>n=n'</math>) | ||
+ | |||
+ | אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * אם <math>a=0</math> הסיכוי היחיד ש <math>gcd(a,b)=1</math> זה אם <math>b=1</math> או <math>b=-1</math> וזה מקרה פשוט | ||
+ | |||
+ | כנ"ל אם <math>b=0</math> | ||
+ | |||
+ | == דוגמא == | ||
+ | |||
+ | מצא את ההופכי של <math>27</math> ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>. | ||
+ | |||
+ | נחשב | ||
+ | |||
+ | <math>101-3\cdot 27=20</math> | ||
+ | |||
+ | <math>27-20=7</math> | ||
+ | |||
+ | <math>20-2\cdot7 = 6</math> | ||
+ | |||
+ | <math>7-6=1</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו נחשב אחורה | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 7-20=1 \Leftarrow 7-(20-2\cdot 7)=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 27 - 4\cdot 20=1 \Leftarrow 3 \cdot (27-20)-20=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>15\cdot 27 - 4\cdot 101=1 \Leftarrow 3\cdot 27 - 4\cdot(101-3\cdot 27)</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן ההופכי של 27 ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math> הוא 15. |
גרסה אחרונה מ־18:02, 12 ביולי 2012
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה (נזכור ש חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י מעבר על כל האפשרויות, אם אז יש איברים שיכולים להיות הופכי:
(למעשה יש פחות, כי לעולם לא יהיה הופכי ו הופכי רק ב)
אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב ? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.
כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.
כמה מושגים בתורת המספרים
הגדרה: יהיו אומרים ש מחלק את (ומסמנים ) אם קיים כך ש .
הגדרה: יהיו המחלק המשותף המירבי של (מסומן ) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את וגם את .
כלומר
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר במצב זה אומרים ש .
נשים לב שאם מספר ראשוני ו אז
משפט: יהיו ו אזי קיימים כך ש .
הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב , כי אם אז
לכן קיימים כך ש .
אם נפעיל על שני צידי המשוואה הזאת נקבל שהופך ל לכן הוא הופכי מתאים ל .
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את ?
חישוב ההופכי
עבור שני מספרים כך ש נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים כך ש .
- נתחיל מהמקרה
נניח ש , נסמן .
(אם אז נסמן הפוך)
נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש .
ונסמן .
כעת נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
ונסמן .
נמשיך כך עד שנגיע לשלב שבו .
(היות ו מובטח לנו שנגיע מתישהוא ל )
עד כאן החלק הקל,
עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה
השלב האחרון שהגענו אליו היה
אבל בשלב הקודם קיבלנו ש
לכן אפשר להציב
שהופך ל:
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש
ואפשר להציב את ב שמופיע בביטוי ולקבל ביטוי מהצורה
עבור כלשהם
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
שזה בדיוק .
- אם או אז מוצאים מתאימים עבור בשיטה שתוארה קודם
ואז ואז
אם לוקחים (אחרת )
אם לוקחים (אחרת )
- אם הסיכוי היחיד ש זה אם או וזה מקרה פשוט
כנ"ל אם
דוגמא
מצא את ההופכי של ב .
נחשב
עכשיו נחשב אחורה
.
לכן ההופכי של 27 ב הוא 15.