(←תרגילים) |
(←מספרים מרוכבים) |
||
(7 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 12: | שורה 12: | ||
− | ::<math>arctan(x): | + | ::<math>arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> |
'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math> | '''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math> | ||
− | |||
==תרגילים== | ==תרגילים== | ||
שורה 43: | שורה 42: | ||
==מספרים מרוכבים== | ==מספרים מרוכבים== | ||
− | + | ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית [[אלגברה לינארית - ארז שיינר#שדה המרוכבים|בקישור הבא]]. | |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''' חשבו את <math>z\cdot \overline{z}</math> | ||
+ | |||
+ | '''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::הערה: נסמן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''' הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::הערה: באופן כללי נסמן <math>z^{-1}=\frac{1}{z}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''' חשבו את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרה''': עבור מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> | ||
+ | |||
+ | ::החלק הממשי <math>Re(z)=a</math> | ||
+ | |||
+ | ::החלק המדומה <math>Im(z)=b</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לדוגמא: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>Im(a-bi) = -b</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': הוכיחו כי <math>|z|\geq |Re(z)|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': הוכיחו את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math> | ||
+ | |||
+ | ==המישור המרוכב== | ||
+ | |||
+ | [[תמונה:complex_plane.png|ימין|400px]] | ||
+ | |||
− | + | כל מספר מרוכב <math>a+bi</math> מתאים לנקודה <math>(a,b)</math> במישור המרוכב. | |
+ | ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס. | ||
− | |||
+ | מתקיים: | ||
− | |||
+ | ::<math>r=|z|</math> | ||
− | ::<math> | + | ::אם <math>a>0</math> אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math> |
+ | ::אם <math>a<0</math>אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi</math> | ||
+ | ::אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | ::אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\varphi=-\frac{\pi}{2}</math> | ||
− | ::<math> | + | ::<math>z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)</math> |
− | + | הצורה <math>rcis(\varphi)</math> נקראת ה'''צורה הפולארית''' של המספר המרוכב, ואילו <math>a+bi</math> היא הצורה '''הקרטזית'''. |
גרסה אחרונה מ־12:04, 11 באוגוסט 2022
פונקציות טריגונומטריות הופכיות
ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.
תרגיל: הוכח כי
תרגילים
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
מספרים מרוכבים
ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית בקישור הבא.
תרגיל חשבו את
פתרון
- הערה: נסמן
- הערה: נסמן
תרגיל הוכיחו שלכל מספר מרוכב קיים מספר מרוכב
כך ש
.
פתרון:
- הערה: באופן כללי נסמן
- הערה: באופן כללי נסמן
תרגיל חשבו את הביטוי
הגדרה: עבור מספר מרוכב
- החלק הממשי
- החלק הממשי
- החלק המדומה
- החלק המדומה
לדוגמא:
תרגיל: הוכיחו כי
תרגיל: הוכיחו את אי-שיוויון המשולש