(←שיטות לחישוב אינטגרלים) |
(←פתרון) |
||
(8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 55: | שורה 55: | ||
::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math> | ::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=e^x</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל: | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt = e^xdx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int sin(\sqrt{x})dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים: | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=\sqrt{x}</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>2tdt=dx</math> | ||
+ | |||
+ | (שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה <math>t^2=x</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int\sqrt{1-x^2}dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>x=sin(t)</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים | ||
+ | |||
+ | ::<math>dx=cos(t)dt</math> | ||
+ | |||
+ | ביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C = </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע החלפת משתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=ln(x)</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt=\frac{1}{x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | וביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C </math> | ||
+ | |||
+ | ==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים== | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 1=== | ||
+ | חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. | ||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | ||
+ | * '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין | ||
+ | |||
+ | :<math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> | ||
+ | |||
+ | וכן | ||
+ | |||
+ | :<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. | ||
+ | |||
+ | קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) | ||
+ | |||
+ | ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>. | ||
+ | |||
+ | * '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. | ||
+ | |||
+ | לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math> | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 2=== | ||
+ | חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>. | ||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | נקודות חיתוך: | ||
+ | * <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math> | ||
+ | * <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math> | ||
+ | * ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך. | ||
+ | לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>. |
גרסה אחרונה מ־11:44, 3 בספטמבר 2014
אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים הוא פונקציה קדומה , כלומר פונקציה המקיימת .
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
ביחד נקבל:
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
תרגילים:
- לכן ביחד
- ביחד
אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)
לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:
ולכן מתקיים
נבצע את החלפת המשתנים:
נגזור את שני הצדדים לקבל
ולכן
(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה )
ביחד
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את שני הצדדים
ביחד
נבצע החלפת משתנים
נגזור את שני הצדדים לקבל
וביחד
חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר .
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין
וכן
- .
קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם (לפי שיעורי ה-x)
ולכן השטח הוא .
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח בין ל-4 ושני שטחים שווים בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.
לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
- ברור כי ל- אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .