(←אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)) |
(←פתרון) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 129: | שורה 129: | ||
*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math> | *<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע החלפת משתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>t=ln(x)</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>dt=\frac{1}{x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | וביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C </math> | ||
==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים== | ==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים== | ||
שורה 136: | שורה 161: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | ||
− | * '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>. | + | * '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין |
− | * '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math> | + | |
+ | :<math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> | ||
+ | |||
+ | וכן | ||
+ | |||
+ | :<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. | ||
+ | |||
+ | קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) | ||
+ | |||
+ | ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>. | ||
+ | |||
+ | * '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. | ||
+ | |||
+ | לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math> | ||
===דוגמה 2=== | ===דוגמה 2=== |
גרסה אחרונה מ־11:44, 3 בספטמבר 2014
אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים הוא פונקציה קדומה , כלומר פונקציה המקיימת .
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
ביחד נקבל:
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
תרגילים:
- לכן ביחד
- ביחד
אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)
לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:
ולכן מתקיים
נבצע את החלפת המשתנים:
נגזור את שני הצדדים לקבל
ולכן
(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה )
ביחד
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את שני הצדדים
ביחד
נבצע החלפת משתנים
נגזור את שני הצדדים לקבל
וביחד
חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר .
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין
וכן
- .
קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם (לפי שיעורי ה-x)
ולכן השטח הוא .
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח בין ל-4 ושני שטחים שווים בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.
לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
- ברור כי ל- אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .