|
|
(9 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
שורה 1: |
שורה 1: |
− | ==שיטות הוכחה==
| + | [[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי התרגול]] |
| | | |
− | ===הוכחה בשלילה===
| + | [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1|מבוא לתורת הקבוצות]] מקורס בדידה |
− | הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה <math>(\sim p \rightarrow F)\rightarrow p</math>. בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.
| + | |
− | | + | |
− | שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | דוגמא:
| + | |
− | | + | |
− | '''תרגיל''' תהיינה A,B קבוצות המקיימות <math>A\backslash B=B\backslash A</math>. הוכח כי <math>A=B</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''הוכחה בשלילה''':
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | :נתון: <math>A\backslash B=B\backslash A</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | :צ"ל: <math>A=B</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''נניח בשלילה''' כי <math>A\neq B</math>.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | לכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a\notin B</math> (או ההפך)
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | לכן לפי ההגדרה <math>a\in A\backslash B</math> אבל <math>a\notin B\backslash A</math> (או ההפך)
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | לכן <math>A\backslash B\neq B\backslash A</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''בסתירה'''.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math> הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ===הכלה דו כיוונית===
| + | |
− | | + | |
− | בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי <math>A=B</math> מספיק להוכיח כי <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''דוגמא'''. תהיינה קבוצות A,B המקיימות <math>A\cup B = A \cap B</math>. הוכח כי <math>A=B</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית''':
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | מהנתון ניתן להסיק כי <math>A\cup B \subseteq A \cap B</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | לכן בפרט <math>A\cup B \subseteq A </math> וגם <math>A\cup B \subseteq B</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | לכן <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math>
| + | |