איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←שאלה 6) |
||
(42 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | ==שאלה 1== | ||
+ | |||
+ | שאלה 1 הייתה שאלת הוכחה מההרצאה. הוכחה 4 פה: [[מדיה:Theorems2013infi2updateII.pdf|הוכחות משפטים למבחן]] | ||
+ | |||
==שאלה 2== | ==שאלה 2== | ||
שורה 15: | שורה 19: | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
− | <math>\int\frac{x^3+1}{x^3-1}</math> | + | <math>\int\frac{x^3+1}{x^3-1}\mathrm{d}x</math> |
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש | על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש | ||
שורה 21: | שורה 25: | ||
<math>\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}</math> | <math>\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}</math> | ||
− | אז נתמקד בחישוב <math>\int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}</math> | + | אז נתמקד בחישוב <math>\int\frac{2}{x^3-1}\mathrm{d}x=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x</math> |
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש | לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש | ||
שורה 36: | שורה 40: | ||
<math>A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}</math> | <math>A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln|x-1|+c</math> | ||
+ | |||
+ | נותר לחשב את <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | לפי השלמה לריבוע | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע הצבה <math>t=x+\frac{1}{2}</math> (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+3}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> | ||
+ | |||
+ | אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא | ||
+ | |||
+ | <math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> | ||
+ | |||
+ | ואם מסדרים את זה יוצא | ||
+ | |||
+ | <math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c</math> | ||
+ | |||
+ | === סעיף ג'=== | ||
+ | |||
+ | [[מדיה:Calculus2Test1Question2c2013.jpg|פתרון]] | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 3== | ||
+ | |||
+ | ===סעיף א=== | ||
+ | |||
+ | צריך לבדוק אם <math>\int_1^\infty \sin\sqrt{x}dx</math> מתכנס או מתבדר. | ||
+ | |||
+ | הצעה לפתרון: ננסה לחשב את <math>\lim_{b\to\infty} \int_1^b \sin \sqrt{x} dx</math>. נסתכל על <math>\int \sin\sqrt x dx</math>. ע"י החלפת משתנים נקבל <math>\sqrt{x}=t \Rightarrow \frac1{2\sqrt x} dx = dt \Rightarrow dx=2tdt</math> | ||
+ | |||
+ | קיבלנו <math>\int 2t\sin t dt</math>. ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים (<math>u=2t, v'=\sin t</math>) כי האינטגרל הוא <math>2\sin(t)- 2t\cos t + C</math> ולכן מתקיים: | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{b\to\infty} \int_1^\infty \sin\sqrt x dx = \lim_{b\to\infty} (2\sin\sqrt b - 2\sqrt{b}\cos\sqrt{b})-(2\sin1-2\cos1)</math> וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== | ||
+ | |||
+ | צריך לבדוק אם <math>\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx</math> מתכנס או מתבדר. | ||
+ | |||
+ | הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה <math>u=x^{1.5}</math>, לכן <math>du=1.5\cdot x^{0.5} dx=1.5\sqrt[3]{u}dx</math>, כלומר <math>dx=\frac{2\cdot du}{3\cdot\sqrt[3]{u}}</math>. במקרה זה <math>u</math> בתחום <math>[1,\infty]</math> גם כן. לכן: | ||
+ | |||
+ | <math>\int_1^\infty \sin{x^{1.5}}dx=\frac{2}{3}\int_1^\infty \frac{\sin{u}}{\sqrt[3]{u}}du</math>, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה. | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 4== | ||
+ | |||
+ | '''הפרכה:''' ניקח את <math>f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1n,\ \ x=0\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right. | ||
+ | </math> וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח). | ||
+ | |||
+ | עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ x\in \mathbb{Q}\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 5== | ||
+ | |||
+ | ===סעיף א'=== | ||
+ | |||
+ | קודם כל, נראה כי <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x^n-x^{n+1})}{2^n+n^3}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^n(1-x)}{2^n+n^3}=(1-x)\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^n}{2^n+n^3}</math> וקיבלנו טור חזקות כיוון ש- <math>(1-x)</math> קבוע וכפל בקבוע לא משנה התכנסות או התבדרות של טור. | ||
+ | |||
+ | כעת נסתכל על החלק של טור החזקות בלבד. ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות שלו לפי דלאמבר: <math>R=\lim_{n\to\infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty} |\frac{\frac{(-1)^n}{2^n+n^3}}{\frac{-1\cdot(-1)^n}{2\cdot2^n+(n+1)^3}}|=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 2^n +(n+1)^3}{2^n+n^3}=2</math> | ||
+ | |||
+ | כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- <math>x=2,-2</math>. ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם <math>x\in(-2,2)</math> | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב'=== | ||
+ | |||
+ | דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: <math>f(x)=\frac{1+x}{(1-x^2)^2}=\frac{1}{(1-x^2)^2}+x\cdot\frac{1}{(1-x^2)^2}</math>. כעת נזכור כי <math>\frac{1}{(1-x)^2}=(\frac{1}{1-x})'=(\sum_{n=0}^\infty x^n)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}</math> והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש. | ||
+ | |||
+ | ולכן, <math>\frac{1}{(1-x^2)^2}=\sum_{n=1}^\infty n(x^2)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n\cdot x^{2n-2}</math> ו- <math>x\cdot\frac{1}{(1-x^2)^2}=x\cdot\sum_{n=1}^\infty n(x^2)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n\cdot x^{2n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן ניתן להגיע לכך ש- <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty (nx^{2n-1}+nx^{2n-2})</math>. כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הצעה אחרת לפתרון ל-5ב [[מדיה:Question5BCalculus2Test1Year2013.pdf|כאן]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * אפשר לפתור את התרגיל הזה גם בגישה ישירה: | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1+x}{(1-x^2)^2}=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ידוע ש: | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\ldots</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^2}=(1+x+x^2+\ldots)(1+x^2+x^4+\ldots)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=1(1+x+x^2+\ldots)+x^2(1+x+x^2+\ldots)+x^4(1+x+x^2+\ldots)+\ldots=(1+x+x^2+\ldots)+(x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^4+x^5+x^6+\ldots)+\ldots</math> | ||
+ | |||
+ | ומכאן קל לראות שהמקדמים צריכים להיות <math>1,1,2,2,3,3</math> וכו' | ||
+ | |||
+ | ==שאלה 6== | ||
+ | |||
+ | נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של <math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math> היא <math>\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx</math> ולכן אנחנו מחפשים את <math>\int_0^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+((\ln\cos(x))')^2}dx</math>. | ||
+ | |||
+ | מתקיים: <math>\frac{d}{dx}\ln\cos(x) = \frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | כמו כן, <math>1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)}</math>. | ||
+ | |||
+ | נראה כי <math>\forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)>0</math> ולכן <math>\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)}</math> ולא צריך לדאוג לגבי הסימן של המכנה (שורש תמיד חיובי ויש מקרים בהם דווקא <math>-\cos(x)</math> חיובי בעוד ש- <math>\cos(x)</math> שלילי) | ||
+ | |||
+ | נרצה לחשב כעת את <math>\int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx</math> | ||
+ | |||
+ | נעזר בהצבה אוניברסאלית <math>t=tan(\frac { x }{ 2 } )</math>, ולכן האינטגרל הוא | ||
+ | |||
+ | <math>\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 6 } }{ \frac { 1 }{ cosx } dx } =\int _{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }{ \frac { 1 }{ \frac { 1-t^{ 2 } }{ t^{ 2 }+1 } } \cdot \frac { 2dt }{ t^{ 2 }+1 } } =\int _{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }{ \frac { 2 }{ 1-t^{ 2 } } dt } =\int _{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }{ \frac { 2 }{ 1-t^{ 2 } } dt } =\int _{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }{ [\frac { 1 }{ t+1 } -\frac { 1 }{ t-1 } ]dt } =</math> | ||
+ | <math>=[ln|t+1|-ln|t-1|\quad ]_{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }=ln|\frac { t+1 }{ t-1 } |\quad ]_{ 0 }^{ tan(\frac { \pi }{ 12 } ) }=0.5493...</math> |
גרסה אחרונה מ־13:59, 26 באוגוסט 2013
שאלה 1
שאלה 1 הייתה שאלת הוכחה מההרצאה. הוכחה 4 פה: הוכחות משפטים למבחן
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
סעיף ג'
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על
. ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים (
) כי האינטגרל הוא
ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
סעיף ב
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה , לכן
, כלומר
. במקרה זה
בתחום
גם כן. לכן:
, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.
שאלה 4
הפרכה: ניקח את וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר
היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 5
סעיף א'
קודם כל, נראה כי וקיבלנו טור חזקות כיוון ש-
קבוע וכפל בקבוע לא משנה התכנסות או התבדרות של טור.
כעת נסתכל על החלק של טור החזקות בלבד. ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות שלו לפי דלאמבר:
כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- . ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם
סעיף ב'
דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: . כעת נזכור כי
והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש.
ולכן, ו-
לכן ניתן להגיע לכך ש- . כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים)
- הצעה אחרת לפתרון ל-5ב כאן
- אפשר לפתור את התרגיל הזה גם בגישה ישירה:
ידוע ש:
ולכן
ומכאן קל לראות שהמקדמים צריכים להיות וכו'
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע
היא
ולכן אנחנו מחפשים את
.
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן
ולא צריך לדאוג לגבי הסימן של המכנה (שורש תמיד חיובי ויש מקרים בהם דווקא
חיובי בעוד ש-
שלילי)
נרצה לחשב כעת את
נעזר בהצבה אוניברסאלית , ולכן האינטגרל הוא