אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←המשך פונקציות) |
(←תרגיל) |
||
(37 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]''' | '''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]''' | ||
− | ==המשך פונקציות== | + | ==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות== |
− | + | ===תמונות חלקיות=== | |
− | + | '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}(B)=\{a\in X|f(a)\in B\}</math>. | |
+ | שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}(B)</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>). | ||
− | + | ==== דוגמאות ==== | |
− | + | תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))</math> | |
+ | |||
+ | תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}(Y)=X</math> | ||
+ | |||
+ | תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== תכונות ==== | ||
+ | # אם <math>A_1\subseteq A_2</math> אזי <math>f(A_1)\subseteq f(A_2)</math> | ||
+ | # אם <math>B_1\subseteq B_2</math> אזי <math>f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)</math> | ||
+ | # הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== תרגיל ==== | ||
+ | הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי | ||
+ | # <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math> | ||
+ | # <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math> | ||
+ | # <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math> | ||
+ | # <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math> | ||
+ | # <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math> | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: | + | נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי: |
<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | <math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math> | ||
+ | '''הערה''' תמיד מתקיים <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math> | ||
− | ''' | + | '''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! |
+ | |||
+ | ===תרגיל (בהרצאה בד"כ)=== | ||
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | ||
שורה 29: | שורה 57: | ||
יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> | יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math> | ||
+ | דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | ||
− | + | ===תרגיל (בXI)=== | |
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על | ||
שורה 39: | שורה 68: | ||
נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על: | נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על: | ||
− | יהא <math> a\in A </math> כיוון ש f על <math>\exists x\in X : f(x)=a </math> לכן <math> x | + | יהא <math> a\in A </math> כיוון ש f על <math>\exists x\in X : f(x)=a </math> לכן <math> x \in f^{-1}(A) </math>. ואז <math>a=f(x)\in f(f^{-1}(A)) </math> |
+ | דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>. | ||
− | + | ===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)=== | |
− | + | ||
יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. | יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>. | ||
שורה 50: | שורה 79: | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | 1. ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' | + | 1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע ''' |
− | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A | + | בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math> |
− | בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. | + | בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. |
שורה 59: | שורה 88: | ||
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) | בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> ) | ||
− | בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> | + | בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> |
− | כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> לכן <math> | + | |
− | + | כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> | |
+ | |||
+ | לכן <math> \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B </math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>\{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>\{y,x\}\subseteq \{x\}</math> כלומר <math>x=y</math>. סתירה. | ||
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: | מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות: | ||
שורה 76: | שורה 111: | ||
למשל: | למשל: | ||
− | יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. | + | יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. |
+ | ==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ==== | ||
+ | תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי: | ||
+ | # אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על. | ||
+ | # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> | ||
+ | # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math> | ||
− | '''הגדרה.''' | + | === פונקציות המכבדות יחס שקילות === |
− | תהי <math>f: | + | '''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math> |
− | + | כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>. | |
− | + | ||
+ | למה זה טוב? | ||
+ | כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math> | ||
− | + | באופן מפורש <math>g=\{([a],f(a))|a\in A\}</math>. | |
− | + | ||
− | + | טענה: g אכן פונקציה | |
− | + | הוכחה: | |
+ | 1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם. | ||
− | + | 2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>. | |
− | + | ==== דוגמא ==== | |
+ | נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x. | ||
− | + | בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים: | |
+ | # <math>\{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}</math> | ||
+ | # <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> | ||
− | + | ====דוגמא ==== | |
+ | האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב? | ||
− | + | '''פתרון''' | |
+ | לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N}</math>. לפי היחס שהגדרנו מתקיים <math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math> אבל לא מתקיים <math>f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)</math> | ||
+ | במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש! | ||
− | ''' | + | הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד. |
− | + | ||
+ | ===פונקציה מצומצמת=== | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה.''' | ||
+ | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא.''' | ||
+ | נביט ב-<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל.''' | ||
+ | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>). | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
− | + | נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math> | |
+ | כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>. | ||
− | <math> | + | '''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך) |
+ | ==== תרגיל ==== | ||
+ | תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{Im(f)}</math> חח"ע. | ||
− | + | הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע. |
גרסה אחרונה מ־14:49, 27 ביולי 2021
המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות
תמונות חלקיות
הגדרה. תהי פונקציה, ויהיו תת קבוצות . אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה , והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה .
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה לבין הפונקציה ההופכית . התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו ) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו ).
דוגמאות
תהא פונקצית דריכלה. אזי
תהא פונקצית . אזי
תהא פונקצית הערך השלם התחתון. אזי
תכונות
- אם אזי
- אם אזי
- הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.
תרגיל
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה ותהיינה . אזי
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.
תרגיל
הוכח/הפרך: תהיינה ותהי f פונקציה . אזי
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים כך ש . ניקח אזי:
הערה תמיד מתקיים
הערה הטענה נכונה אם חח"ע. הוכיחו!
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם חח"ע
פתרון.
יהא אזי ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם חח"ע:
יהא לכן לכן . כיוון ש חח"ע נובע כי
דוגמא שלא מתקיים שיוויון (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר ומתקיים
תרגיל (בXI)
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם על
פתרון.
יהא כאשר ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם על:
יהא כיוון ש f על לכן . ואז
דוגמא שלא מתקיים שיוויון המוגדרת . אזי נגדיר ומתקיים .
תרגיל ממבחן (קצת משודרג)
יהיו שתי קבוצות, ותהי פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה על ידי . בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. נמצא ב XI הטענה f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על)
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי לכן בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה )
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים שונים כך ש . נביט בנקודון
כיוון ש g על קיימת כך ש
לכן
ולכן
לכן כלומר . סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל: יהיו . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:
- אם קיימת חח"ע אזי קיימת על.
- אם A,B סופיות: קיימת חח"ע אמ"מ
- אם A,B סופיות: קיימת על אמ"מ
פונקציות המכבדות יחס שקילות
הגדרה. תהי , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על אם
כלומר אם a שקול ל b אזי .
למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה ע"י
באופן מפורש .
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח , צ"ל . מהנתון ש נובע ש , ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים , ולפי הגדרת g מתקיים .
דוגמא
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:
דוגמא
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי מוגדרת היטב?
פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של . לפי היחס שהגדרנו מתקיים אבל לא מתקיים
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
פונקציה מצומצמת
הגדרה. תהי ותהי . הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: כך ש-.
דוגמא. נביט ב- המוגדרת על ידי ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת כן חח"ע.
תרגיל.
תהי פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש- חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר ).
פתרון.
נגדיר לכל את הקבוצה של המקורות שלו כעת נבחר מכל איבר יחיד . נגדיר . כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי חח"ע עם אותו טווח של .
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
תרגיל
תהיינה פונקציות כך ש חח"ע. הוכיחו כי חח"ע.
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, , נקבל כי חח"ע ובנוסף חח"ע ועל. מכאן ש חח"ע כהרכבה של חח"ע.