(←הוכחה) |
|||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 31: | שורה 31: | ||
ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math> | ולכן <math>p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0</math> | ||
− | אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>. | + | אם <math>p(A)\neq 0</math> אז קיימת לה עמודה <math>j</math> שונה מאפס, אזי <math>p(A)e_j=C_j(p(A))\neq 0</math>. אבל ראינו ש <math>\forall v \in V :p(A)v=0</math> ולכן <math>p(A)=0</math> ולכן <math>p=m_A</math>. |
'''<math>\Rightarrow</math>''' | '''<math>\Rightarrow</math>''' | ||
− | קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום | + | קודם כל הפולינום המינימלי של <math>A</math> מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של <math>A</math>. |
− | <math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל אחד. כלומר <math>A</math> לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל <math>1\times1</math>). | + | <math>n_i</math> כלומר החזקה של הגורם <math>t-\lambda_i</math> בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של <math>A</math>. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של <math>A</math> הוא מגודל אחד. כלומר <math>A</math> לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל <math>1\times1</math> ). |
גרסה אחרונה מ־15:54, 18 בנובמבר 2009
משפט
לכסינה
הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה
עבור
הע"ע השונים של
הוכחה
לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של
נקרא לו
. ברור שהפולינום המינימלי של
חייב להכיל את הגורמים האי פריקים
לכל הע"ע של
. לכן אם הפולינום
מקיים
אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)
אנו יודעים שעבור כל קיים
כך ש
. מה הערך של
עבור
?
הבה נסתכל ב :
אבל
ולכן לכל
בסיס ולכן כל וקטור
ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי
:
ולכן
אם אז קיימת לה עמודה
שונה מאפס, אזי
. אבל ראינו ש
ולכן
ולכן
.
קודם כל הפולינום המינימלי של מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של
.
כלומר החזקה של הגורם
בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של
. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של
הוא מגודל אחד. כלומר
לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל
).