(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1 (40 נק)== ===סעיף א=== ===סעיף ב=== ==שאלה 2 (40 נק)== ===סעיף א=== ===סעיף ב=== ==שאלה 3 (30 נק)== ===ס...") |
|||
(10 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | ==שאלה 1 ( | + | ==שאלה 1 (30 נק)== |
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
+ | תהיינה שתי סדרות <math>a_n,b_n</math> כך ש: | ||
+ | |||
+ | ::1. <math>\lim a_n-b_n=0</math> | ||
+ | ::2. <math>\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}</math> | ||
+ | |||
+ | '''הוכיחו/הפריכו:''' | ||
+ | ::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math> | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
+ | תהי סדרה <math>a_n</math> וקבוע <math>0<q<1</math> כך ש | ||
+ | ::<math>\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|</math> | ||
+ | הוכיחו כי <math>a_n</math> מתכנסת. | ||
+ | |||
+ | (רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''') | ||
==שאלה 2 (40 נק)== | ==שאלה 2 (40 נק)== | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
+ | לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל. | ||
+ | ::1. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}</math> | ||
+ | ::2. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}</math> | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
+ | נניח <math>\lim a_n-b_n=0</math>. | ||
+ | |||
+ | ::'''הוכיחו/הפריכו:''' <math>\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n</math> | ||
==שאלה 3 (30 נק)== | ==שאלה 3 (30 נק)== | ||
===סעיף א=== | ===סעיף א=== | ||
+ | תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה | ||
+ | ::<math>a_1=1</math> | ||
+ | ::<math>a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
+ | קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math> |
גרסה אחרונה מ־11:54, 20 בדצמבר 2014
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים