איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 1 (30 נק)) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 9: | שורה 9: | ||
'''הוכיחו/הפריכו:''' | '''הוכיחו/הפריכו:''' | ||
::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math> | ::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math> | ||
+ | |||
+ | פתרון משופר ומעודכן: הטענה נכונה. | ||
+ | נשים לב ש | ||
+ | |||
+ | <math>(a_n)^2-(b_n)^2=(a_n+b_n)(a_n-b_n)</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו, ידוע כי <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n-b_n=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן אם נוכיח כי <math>a_n+b_n</math> היא סדרה חסומה, נקבל כי אכן <math>\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n^2-b_n^2= 0</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן נותר להוכיח כי <math>a_n+b_n</math> סדרה חסומה. | ||
+ | |||
+ | היות ש <math>\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_{n})^2+(b_{n})^2=L\in\mathbb{R}</math> | ||
+ | |||
+ | נקבל כי הסדרה <math>(a_{n})^2+(b_{n})^2</math> חסומה. | ||
+ | |||
+ | אבל <math>0\leq(a_{n})^2\leq(a_{n})^2+(b_{n})^2</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן גם <math>(a_{n})^2</math> סדרה חסומה ולכן גם <math>a_n</math> חסומה. | ||
+ | |||
+ | באופן דומה מראים ש <math>b_n</math> חסומה ולכן גם סכומן חסום כנדרש. | ||
+ | |||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
שורה 17: | שורה 39: | ||
(רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''') | (רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''') | ||
+ | |||
+ | פתרון: יש פתרון כאן | ||
+ | |||
+ | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי|מערך תרגול על סדרות קושי]] | ||
==שאלה 2 (40 נק)== | ==שאלה 2 (40 נק)== |
גרסה אחרונה מ־21:05, 28 בדצמבר 2014
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
פתרון משופר ומעודכן: הטענה נכונה. נשים לב ש
עכשיו, ידוע כי
לכן אם נוכיח כי היא סדרה חסומה, נקבל כי אכן .
לכן נותר להוכיח כי סדרה חסומה.
היות ש
נקבל כי הסדרה חסומה.
אבל
ולכן גם סדרה חסומה ולכן גם חסומה.
באופן דומה מראים ש חסומה ולכן גם סכומן חסום כנדרש.
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
פתרון: יש פתרון כאן
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד . (וגם )
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר:
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
ובזאת הוכחנו שהיא מונוטונית עולה.
נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל ע"י 2, באינדוקציה:
2) חסימות מלעיל: צריך להראות ש .
עבור אכן .
נניח שעבור מתקיים .
אז גם עבור מתקיים
כנדרש.
לכן זו סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן היא מתכנסת. נסמן את גבולה ב .
נמצא את הגבול באמצעות הטריק הרגיל.
נפעיל בשני אגפים של המשוואה
ונקבל
כלומר
.
ובזה סיימנו את הפתרון.
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
1)
פתרון: נשים לב ש
כלומר הסדרה בתוך הטור לא מתכנסת ל 0 ולכן הטור מתבדר.
2)
פתרון: נשים לב שזה בעצם סכום של שני הטורים
כל אחד מהטורים האלה הוא טור הנדסי שהמנה שלו בין ל ולכן הוא טור מתכנס.
ולכן גם סכומם שהוא הטור שלנו, מתכנס.