(←חשבון אינפיניטיסימלי) |
(←חשבון אינפיניטיסימלי) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 9: | שורה 9: | ||
'''חשבון במשתנה ממשי יחיד''' | '''חשבון במשתנה ממשי יחיד''' | ||
− | * אי-שוויון הממוצעים | + | * אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים <math>\{a_1,\dots,a_n\}</math> מתקיים אי השיוויון <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}</math>. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני. |
− | * הלמה של | + | * הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>). |
− | * המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math> | + | * המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>. |
− | * | + | * קירוב Stirling: <math>\Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n</math>. |
− | * סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים | + | * סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל. |
− | + | * סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro. | |
− | + | * משפט Tauber: אם הטור <math>\sum a_n</math> סכים-Abel ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז <math>\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>. | |
− | * הלמה של Reimann-Lebesgue. | + | * הלמה של Reimann-Lebesgue: אם <math>f\in \mathcal{R}([a,b])</math> אז <math>\int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0</math> (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים). |
== תורת החבורות == | == תורת החבורות == | ||
* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1. | * יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1. |
גרסה אחרונה מ־04:57, 22 בדצמבר 2016
תרגילים שעלולים לשכוח ולא כדאי:
אלגברה לינארית
- חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה
- אין מטריצה אנטי-סימטרית הפיכה מממד אי-זוגי
חשבון אינפיניטיסימלי
חשבון במשתנה ממשי יחיד
- אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים
מתקיים אי השיוויון
. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
- הלמה של Fekete: אם
סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-
יש גבול במובן הרחב השווה ל
).
- המשפט של Stolz-Cesàro: אם
סידרה חיובית כך ש
אז לכל סידרה
,
.
- קירוב Stirling:
.
- סומביליות Abel: אם הסכום
קיים אז גם
קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
- סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
- משפט Tauber: אם הטור
סכים-Abel ו
אז
.
- הלמה של Reimann-Lebesgue: אם
אז
(כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).
תורת החבורות
- יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.