(←פתרון) |
|||
(6 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]]. | ||
+ | |||
=יחסים= | =יחסים= | ||
==המכפלה הקרטזית== | ==המכפלה הקרטזית== | ||
− | הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A | + | הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>. |
− | ניתן להכליל את ההגדרה לעיל | + | ניתן להכליל את ההגדרה לעיל ל-<math>n</math>-יה סדורה - כלומר <math>n</math> איברים מסודרים. |
− | + | דוגמה: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו-<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math> | |
+ | למתכנתים: זה מאוד דומה ללולאות for מקוננות. | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math> | + | הוכח שלכל קבוצות <math>A,B,C,D</math> מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math> |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | <math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math> | + | <math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff </math> |
+ | |||
+ | <math>(x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math> | ||
==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים== | ==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים== | ||
− | הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> אזי R יקרא יחס (בין A | + | הגדרה: יהיו <math>A,B</math> קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> אזי <math>R</math> יקרא יחס (בין <math>A</math> לבין <math>B</math>). |
− | הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי | + | הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי <math>A</math> ל-<math>B</math>. |
− | + | ||
− | + | דוגמה: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה? | |
− | + | זוגות אלה הינם כל זוגות האיברים <math>(a,b)</math> כך ש-<math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה"). | |
− | + | הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\varnothing</math> היא יחס, וגם <math>A\times B</math> הוא יחס. | |
+ | סימון: אם זוג מסוים,נניח <math>(a,b)</math>, נמצא בקבוצת היחס <math>R</math> נהוג לסמן <math>aRb</math>, או <math>(a,b)\in R</math>. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>). | ||
− | + | דוגמה: נביט בקבוצת האנשים <math>A</math>. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש-<math>(x,y)\in R</math> אם"ם <math>x</math> הוא בן של <math>y</math>. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי. | |
− | הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: | + | הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math>, '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: |
<math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math> | <math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math> | ||
− | הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש | + | הגדרה: תהי קבוצה <math>A</math>. '''יחס הזהות''' על <math>A</math> הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש-<math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>. |
− | הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> ''' | + | הגדרה: יהיו <math>A,B,C</math> קבוצות, ו-<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''יחס הכפל''' הוא היחס: <math>RS=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math>. |
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: | יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם: | ||
− | א. <math> | + | א. <math>RR^{-1}=I_A</math> |
− | ב. <math> | + | ב. <math>R^{-1}R=I_B</math> |
==תכונות של יחסים על קבוצה== | ==תכונות של יחסים על קבוצה== | ||
− | הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו | + | הגדרה: יחס <math>R</math> על קבוצה <math>A</math> פירושו <math>R\subseteq A\times A</math>. |
− | תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי | + | תהי קבוצה <math>A</math> ויחס <math>R</math> עליה אזי: |
− | #R נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>) | + | #<math>R</math> נקרא '''רפלקסיבי''' אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים <math>\forall a\in A:(a,a)\in R</math>). |
− | #R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>) | + | #<math>R</math> נקרא '''סימטרי''' אם <math>aRb</math> גורר שגם <math>bRa</math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>). |
− | #R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>) | + | #<math>R</math> נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני (<math>aRb</math>), ויחס בין השני לשלישי (<math>bRc</math>) גורר יחס בין הראשון לשלישי (<math>aRc</math>). (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>). |
− | #R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A:\ | + | #<math>R</math> נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם <math>aRb</math> וגם <math>bRa</math> גורר כי <math>a=b</math> (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa)</math>) |
דוגמאות: | דוגמאות: | ||
שורה 55: | שורה 66: | ||
*יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי | *יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי | ||
*יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי | *יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי | ||
− | *יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי | + | *יחס 'שיוויון מודולו <math>n</math>' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי |
*יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי | *יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי | ||
− | *יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי | + | *יחס '<math>a</math> מחלק את <math>b</math>' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי |
− | *יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי | + | *יחס 'אדם <math>x</math> שמע על אדם <math>y</math>' הינו רפלקסיבי |
+ | |||
+ | '''הערה:''' יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמה: <math>A=\{ 1,2,3\} , R=\{ (1,1)\} , S=\{ (1,2),(2,1),(3,2)\}</math> ואז <math>R</math> גם וגם, ואילו <math>S</math> לא ולא. |
גרסה אחרונה מ־17:04, 5 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
יחסים
המכפלה הקרטזית
הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות ו- הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - . ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים והאיבר הבא הינו זוג חוקי .
ניתן להכליל את ההגדרה לעיל ל--יה סדורה - כלומר איברים מסודרים.
דוגמה: ו- אזי מתקיים
למתכנתים: זה מאוד דומה ללולאות for מקוננות.
תרגיל
הוכח שלכל קבוצות מתקיים
פתרון
יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים
הגדרה: יהיו קבוצות, אזי יקרא יחס (בין לבין ). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי ל-.
דוגמה: ונביט בתת הקבוצה הבאה: . מה מיוחד בזוגות אלה?
זוגות אלה הינם כל זוגות האיברים כך ש-. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה").
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה היא יחס. גם היא יחס, וגם הוא יחס.
סימון: אם זוג מסוים,נניח , נמצא בקבוצת היחס נהוג לסמן , או . (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט ).
דוגמה: נביט בקבוצת האנשים . נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים כך ש- אם"ם הוא בן של . שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.
הגדרה: בהינתן יחס , היחס ההפוך הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
הגדרה: תהי קבוצה . יחס הזהות על הוא כך ש-.
הגדרה: יהיו קבוצות, ו- יחס הכפל הוא היחס: .
תרגיל
יהיו . נגדיר את היחס: . בדוק האם:
א.
ב.
תכונות של יחסים על קבוצה
הגדרה: יחס על קבוצה פירושו .
תהי קבוצה ויחס עליה אזי:
- נקרא רפלקסיבי אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים ).
- נקרא סימטרי אם גורר שגם (מתקיים ).
- נקרא טרנזיטיבי אם יחס בין ראשון לשני (), ויחס בין השני לשלישי () גורר יחס בין הראשון לשלישי (). (מתקיים ).
- נקרא אנטי סימטרי (חלש) אם וגם גורר כי (מתקיים ובאופן שקול: )
דוגמאות:
- יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
- יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס 'שיוויון מודולו ' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
- יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
- יחס ' מחלק את ' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
- יחס 'אדם שמע על אדם ' הינו רפלקסיבי
הערה: יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמה: ואז גם וגם, ואילו לא ולא.