(יצירת דף עם התוכן "=== תרגיל === הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|</math> ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb...") |
(←תרגיל) |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]]. | ||
+ | |||
+ | =עוצמות= | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה.''' יהיו <math>A,B</math> שתי קבוצות. אזי: | ||
+ | *אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של-<math>A</math> ול-<math>B</math> '''יש אותה עוצמה'''. סימון <math>|A|=|B|</math>. | ||
+ | *אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה או שווה לזו של <math>B</math>. סימון <math>|A|\leq|B|</math>. | ||
+ | * אם <math>|A|\leq|B|</math> וגם <math>|A|\not=|B|</math> אזי אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה ממש מהעוצמה של <math>B</math>. סימון <math>|A|<|B|</math>. | ||
+ | |||
+ | הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>|B|\leq |A|</math>. | ||
+ | |||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
− | הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\ | + | הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}|</math>. |
==== פתרון ==== | ==== פתרון ==== | ||
− | נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\ | + | נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה. |
+ | |||
+ | הפיכה כי יש לה הופכית: <math>f^{-1}:P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}\to P(\mathbb{N})</math> ע"י <math>\{1\}\mapsto \varnothing,\{n\geq 2\}\mapsto \{n-1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון נשלחת לעצמה. | ||
===תרגיל === | ===תרגיל === | ||
− | הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math> | + | הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math>. |
פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה. | פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה. | ||
− | === | + | חח"ע: נניח <math>F(f)=F(g)</math> לכן <math>(f(1),f(2))=(g(1),g(2))</math>, ולכן <math>f(1)=g(1)\land f(2)=g(2)</math> וזו אותה פונקציה. |
− | אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math> | + | על: יהי <math>(a,b)\in A\times A</math>, הפונקציה שמוגדרת ע"י <math>1\mapsto a,2\mapsto b</math> היא מקור. |
+ | |||
+ | ===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)=== | ||
+ | |||
+ | אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>. | ||
+ | |||
+ | בהמשך נקצר לק.ש.ב. | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math> | + | הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | לפי ק.ש.ב. כי | + | לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>. |
− | + | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | + | הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים. | |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
שורה 29: | שורה 47: | ||
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>. | נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>. | ||
− | ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י | + | ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | טענה: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל-<math>\mathbb{R}</math>. | |
+ | הוכחת הטענה: הפונקציה <math>\tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל. | ||
===תרגיל === | ===תרגיל === | ||
− | תהא A קבוצה. | + | תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\leq |P(A)|</math>. |
− | פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> | + | פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> והיא חח"ע. |
− | תהא A קבוצה. | + | תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>|A|\neq |P(A)|</math>. |
− | פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי <math>x\notin f(x)= | + | פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של <math>A</math> ולכן, מכיוון ש-<math>f</math> על, קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת <math>X</math> נקבל כי <math>x\notin f(x)=X</math>, סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת <math>X</math> מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. מש"ל. |
גרסה אחרונה מ־08:18, 21 בינואר 2018
חזרה לדף מערכי התרגול.
עוצמות
הגדרה. יהיו שתי קבוצות. אזי:
- אם קיימת חח"ע ועל אז אומרים של- ול- יש אותה עוצמה. סימון .
- אם קיימת חח"ע אז אומרים כי העוצמה של קטנה או שווה לזו של . סימון .
- אם וגם אזי אומרים כי העוצמה של קטנה ממש מהעוצמה של . סימון .
הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת על אזי .
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נגדיר פונקציה ע"י וכל שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.
הפיכה כי יש לה הופכית: ע"י וכל שאינה נקודון נשלחת לעצמה.
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון: הפונקציה המוגדרת הפיכה.
חח"ע: נניח לכן , ולכן וזו אותה פונקציה.
על: יהי , הפונקציה שמוגדרת ע"י היא מקור.
משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)
אם וגם אז .
בהמשך נקצר לק.ש.ב.
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון
לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה שברים מהצורה .
תרגיל
הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה כאשר ממשיים.
פתרון
נראה שכולם שווי עוצמה לקטע .
ראשית נגדיר ע"י חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.
טענה: הקטע בעל עוצמה שווה ל-.
הוכחת הטענה: הפונקציה הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.
תרגיל
תהא קבוצה. הוכיחו כי .
פתרון: נגדיר את הפונקציה ע"י והיא חח"ע.
תהא קבוצה. הוכיחו כי .
פתרון: נניח בשלילה כי אזי קיימת הפיכה, בפרט על. נגדיר . זוהי תת קבוצה של ולכן, מכיוון ש- על, קיים כך ש-. האם ? אם לא, לפי הגדרת נקבל כי , סתירה. אם כן אז אבל לפי הגדרת מתקיים סתירה. מש"ל.