מ (←אינטגרציה) |
מ (←הקדמה - הגדרות) |
||
(9 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | {{כותרת נושא|אינטגרציה|נושא ראשון}} | |
− | '''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. | + | '''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל. |
− | + | ===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | |
− | + | [[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]] | |
− | + | נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>. | |
− | + | נחלק את הקטע: | |
− | + | ||
− | + | ||
{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | {{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | ||
− | + | כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>). | |
− | מעל כל תת קטע | + | מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}} |
− | כמו כן, מעל כל קטע | + | כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}} |
− | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{ | + | כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל |
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | ||
+ | ---- | ||
− | '''הגדרה:''' תהי | + | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. |
''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ||
− | + | ==משפט 0== | |
− | אם | + | אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> |
− | + | ===הוכחה=== | |
− | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. | + | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} |
+ | ---- | ||
+ | '''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף. | ||
− | + | ==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
− | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f | + | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. |
− | # אם | + | # אם F קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>. |
− | + | ===הוכחה=== | |
− | < | + | [[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]] |
− | < | + | # יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {{משל}} |
+ | # נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | ||
− | + | =האינטגרל לפי דרבו= | |
+ | ==הקדמה - הגדרות== | ||
+ | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]] | ||
+ | תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>. | ||
− | + | לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר: | |
− | </ | + | * שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math> |
− | + | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ==משפט 1== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
{| | {| | ||
{{=|l=m(b-a) | {{=|l=m(b-a) | ||
|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | |r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | ||
− | |c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> | + | |c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>b-a=</math>, לכן: |
}} | }} | ||
{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | {{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | ||
שורה 93: | שורה 78: | ||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). | נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). | ||
− | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f | + | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P)</math>. |
− | + | ==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | |
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>. |
− | + | ===דוגמה=== | |
− | בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases} | + | בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. |
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | ||
− | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. | + | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}} |
− | + | ||
− | מכאן <math>\underline\int_a^b f | + | |
+ | ---- | ||
'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | ||
− | + | ==משפט 2== | |
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>, תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי |
{{left| | {{left| | ||
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | ||
שורה 122: | שורה 106: | ||
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>. | כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>. | ||
− | + | ===הוכחה=== | |
מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>. | מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>. | ||
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math> | כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math> | ||
שורה 128: | שורה 112: | ||
לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | ||
− | {{ | + | {{המשך סיכום|תאריך=22.2.11}} |
כמו כן, | כמו כן, | ||
שורה 143: | שורה 127: | ||
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== | ||
− | עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f | + | עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | מסקנה 1 אומרת | + | מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־14:17, 12 באוגוסט 2013
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף של ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע
.
נחלק את הקטע:
![0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1](/images/math/b/5/a/b5a2d46d7dc9219f3515357b15273917.png)
כך שבאופן כללי (בגרף מוצג המקרה הפרטי
).
![[x_{k-1},x_k]](/images/math/2/2/4/224be76d80cdbec9a700c2096afa4264.png)
![\left({k\over n}\right)^2=x_k^2](/images/math/d/3/1/d314d442df294c2f01d658a559866182.png)
![\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}](/images/math/e/9/5/e951dceae5dd83a0ab50f7c0b44d9fae.png)
![[x_{k-1},x_k]](/images/math/2/2/4/224be76d80cdbec9a700c2096afa4264.png)
![\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2](/images/math/1/1/0/110b25473d236d746c4aa6c8bd7274e6.png)
![\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}](/images/math/4/4/0/44094653e7b9628308a1324e6259fbca.png)
כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-, ז"א
. הדבר נכון לכל
ולכן נוכל להשאיף את
ולקבל
, לכן
.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: אם אז
.
משפט 0
אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן
. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-
.
הגדרה אינטואיטיבית: תהי רציפה בקטע
. נסמן ב-
את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
נגדיר
אזי
.
- אם F קדומה ל-f ב-
אז
.
הוכחה
- יהי x נתון. לפי ההגדרה
. בגרף:
השטח של החלק הירוק ו-
בסיס החלק הירוק. לפיכך
הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן
הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר
)
.
- נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
ולכן
.
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי f מוגדרת וחסומה ע"י ו-
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של
כקבוצה
המקיימת:
. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות
ואת הפרמטר של P להיות
.
לכל k כך ש- נגדיר גם
וכן
. בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
לכל k מתקיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון"
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-
אם
ואם הם שווים אז נגדיר
להיות הערך המשותף של
ו-
.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה
.
נקח חלוקה כלשהי ל-
:
.
לכל k מתקיים וכן
. לכן
ואילו
. מכאן
ו-
, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של
נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי f מוגדרת וחסומה ב-, תהי P חלוקה של
ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי
(נזכיר ש- ו-
)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת
כך ש-
עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר
ו-
.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע
עבור
כלשהו. לכן
![M_i\ge M_i^+,M_i^-](/images/math/5/a/d/5ad6ab75cacd62d937abe01524042397.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}](/images/math/f/c/2/fc2cbee324ae96e1814e2cc8dc0ed399.png)
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
כמו כן,
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}](/images/math/0/0/f/00f9ae8a280bdec41cdd15d8b04f28d7.png)
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק
.
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים
.
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים
ולכן
. כמו כן, לפי ההגדרה
ו-
.